UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15g
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função
para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier
e, substituí-los na expressão
Bora lá!
Passo 2
Temos a seguinte função
essa função é definida tal que tem paridade ímpar, portanto, o único coeficiente não-nulo é o coeficiente do seno, portanto, temos que calcular apenas
temos a seguinte relação trigonométrica
temos que
e
portanto
e então, temos que
de forma que
e, então, temos que
As nossas integrais são tais que
Ambas as integrais resultantes devem ser resolvidas por partes! Bora lá!
Passo 3
Temos primeiro a integral
usando que
e
e
e
Portanto, temos a integral
A outra integral é da forma
Portanto, temos que
uma vez que , obtendo
Vamos resolver a outra integral agora!
Passo 4
A outra integral é bastante similar
de forma que podemos obter
O nosso coeficiente é dado então por
essa expressão é válida para . Precisamos calcular o caso específico em que . Vamos lá!
Passo 5
Em , obtemos
usando a relação trigonométrica
em que , e portanto, temos que
Nossa integral se torna
integrando por partes, temos que
esse resultado é então dado por
e, portanto, temos que
O segundo termo se anula, o que nos resta é
a série de Fourier é então dada por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!