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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 69a

Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].

( a )   f ( x )   =   s e n   x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado determinarmos a forma complexa da série de Fourier da função definidas no intervalo [−π, π]

  f ( x )   =   s e n   x

Vamos utilizar a relação de Euler para escrever essa função como soma de exponenciais imaginárias!

Passo 2

Temos que a série de Fourier da forma complexa é dada por

f ( x ) = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   ω n x ,

sendo c n = 1 2 L ∫ - L L f ( x ) e - i ω n x d x e ω n = n π L .

Passo 3

Vamos escrever a função usando a relação de Euler:

s e n   x = e i x - e - i x 2 i

então calculando o coeficiente, com L = π :

c n = 1 2 π ∫ - π π e i x - e - i x 2 i e - i ω n x d x = 1 2 π ∫ - π π e i ( 1 - n ) x - e - i ( 1 + n ) x 2 i d x

lembrando da definição de delta de Dirac,

c n = 1 2 i [ ( 1 2 π ∫ - π π e i ( 1 - n ) x d x ) - ( 1 2 π ∫ - π π e i ( 1 - n ) x d x ) ] = 1 2 i [ δ ( n - 1 ) - δ ( n + 1 ) ]

Então temos dois valores de coeficientes possíveis:

c 1 = 1 2 i

c - 1 = - 1 2 i .

Passo 4

Assim, substituindo na série

f ( x ) = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   ω n x = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   n   x = 1 2 i e i x - 1 2 i e - i x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = s e n ( x ) = 1 2 i e i x - 1 2 i e - i x .

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