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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 5

A série de Fourier da função f definida por:

f x = 2 x - π π 2           0 ≤ x < π 0                     - π ≤ x < 0

Converge em x = π para:

Escolha uma opção:

a) 1 π

b) 1 2 π

c) não converge

d) 0

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f . Portanto, bora se ligar nas fórmulas abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 π (de – π até π ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:

2 L = 2 π     →       L = π

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 :

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Veja que de - π a π temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 π ∫ - π 0 0   d x + ∫ 0 π 2 x - π π 2 d x

Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - π < x < 0 e 2 x - π π 2 em 0 < x < π . Resolvendo essas integrais, temos que...

a 0 = 1 π ⋅ 1 π 2 x 2 - π x 0 π

a 0 = 1 π 3 π 2 - π 2 = 0

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = 1 π ∫ - π 0 0 cos ⁡ n x d x + ∫ 0 π 2 x - π π 2 cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ 0 π 2 x - π π 2 cos ⁡ n x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = 2 x - π π 2   →       u ' = 2 π 2

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n s e n n x

Logo, ficamos com...

a n = 1 π 2 x - π π 2 1 n s e n n x 0 π - ∫ 0 π 2 n π 2 sen ⁡ n x d x

a n = 1 π 2 x - π π 2 1 n s e n n x 0 π - 2 n π 2 ∫ 0 π sen ⁡ n x d x

a n = 1 π 0 - 2 n π 2 - 1 n cos ⁡ ( n x ) 0 π

a n = 1 π 2 n 2 π 2 cos ⁡ ( n x ) 0 π

a n = 2 n 2 π 3 [ cos ⁡ n π - 1 ]

a n = 2 cos ⁡ n π - 2 n 2 π 3

Agora vamos analisar com calma. Perceba que:

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo;

a n = 2 cos ⁡ n π - 2 n 2 π 3 = - 4 n 2 π 3       n   é   í m p a r 2 cos ⁡ n π - 2 n 2 π 3 = 0 n 2 π 3             n   é   p a r        

E então;

a n = 2 - 1 n - 2 n 2 π 3

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = 1 π ∫ - π 0 0 sen ⁡ n x d x + ∫ 0 π 2 x - π π 2 sen ⁡ n x d x

b n = 1 π ∫ 0 π 2 x - π π 2 sen ⁡ n x d x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = 2 x - π π 2       →       u ' = 2 π 2

v ' = sen ⁡ n x       →       v = - 1 n c o s n x

E com isso;

b n = 1 π - 2 x - π π 2 1 n c o s n x 0 π + ∫ 0 π 2 n π 2 cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - 2 x - π π 2 1 n c o s n x 0 π + 2 π 2 n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = 1 π - 2 x - π π 2 1 n c o s n x 0 π + 0

b n = 1 π - 2 x - π π 2 1 n c o s n x 0 π

b n = 1 π - 2 π - π π 2 1 n c o s n π + - π π 2 1 n c o s 0

b n = 1 π - 1 π n c o s n π - 1 π n

b n = - cos ⁡ n π - 1 n π 2

Sendo que;

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

cos ⁡ n π = - 1 n

Logo, temos...

b n = - - 1 n - 1 n π 2

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

Encontramos que...

a n = 2 - 1 n - 2 n 2 π 3

b n = - - 1 n - 1 n π 2

E como isso, obtemos que...

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n - 2 n 2 π 3 cos ⁡ - n π + - - 1 n - 1 n π 2 s e n n x  

Substituindo x = - π ...

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n - 2 n 2 π 3 cos ⁡ n π + - - 1 n - 1 n π 2 s e n - n π

Temos que cos ⁡ - n π = - 1 n e sen ⁡ ( - n π ) = 0 :

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 2 - 1 n n 2 π 3

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 2 - 1 n n 2 π 3 = 4 π 3 + 4 9 π 3 + 4 25 π 3 + ⋯

f x = 4 π 3 ( 1 + 1 9 + 1 25 + ⋯ )

Então, podemos reescrever f ( x ) como...

f x = 4 π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2

Onde pela teoria, sabemos que...

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 ≈ π 2 8

Desse modo;

f x = 4 π 3 ⋅ π 2 8 = 1 2 π

Resposta

b) 1 2 π

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π