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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 9

Calcule a expansão em série de Fourier da extensão par de período 4 da função definida no intervalo [ 0,2 ] por f x = 1 + x 2 :

Escolha uma opção:

a) 1 4 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π n 2 cos ⁡ n π 2 x

b) 7 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π n 2 cos ⁡ n π 2 x

c) 14 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2 x

d) 7 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2 x

e) 7 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π n cos ⁡ n π 2 x

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f . Portanto, bora se ligar nas fórmulas abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 (de 0 até 2 ), e a questão nos diz que o período é 4 . Então:

  L = 2

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 :

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 2 ∫ 0 2 f x d x

a 0 = 1 2 ∫ - 2 2 ( x 2 + 1 )   d x = x 3 3 + x - 2 2 = 8 3 + 2 + 8 3 + 2 = 28 3 ⋅ 1 2 = 14 3

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 2 ∫ - 2 2 f x cos ⁡ ( n π x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = 1 2 ∫ - 2 2 f x cos ⁡ n π 2 x d x

a n = 1 2 ∫ - 2 2 ( x 2 + 1 ) cos ⁡ n π 2 x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = x 2 + 1 →       u ' = 2 x

v ' = cos ⁡ n π 2 x       →       v = 2 n π s e n n π 2 x

Logo, ficamos com...

a n = 1 2 x 2 + 1 2 n π s e n n π 2 x - 2 2 - ∫ - 2 2 4 x n π sen ⁡ n π 2 x d x

a n = 1 2 x 2 + 1 2 n π s e n n π 2 x - 2 2 - 4 n π ∫ - 2 2 x sen ⁡ n π 2 x d x

a n = 32 π n cos ⁡ π n 2 π 3 n 3

a n = 16 cos ⁡ π n π 2 n 2

Agora vamos analisar com calma. Perceba que:

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo;

a n = 16 cos ⁡ π n π 2 n 2 = - 16 π 2 n 2       n   é   í m p a r 16 cos ⁡ π n π 2 n 2 = 16 π 2 n 2             n   é   p a r        

E então;

a n = 16 - 1 n n 2 π 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 2 ∫ - 2 2 f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = ∫ - 2 2 x 2 + 1 sen ⁡ n π 2 x d x

b n = ∫ - 2 2 x 2 + 1 sen ⁡ n π 2 x d x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x 2 + 1 →       u ' = 2 x

v ' = sen ⁡ n π 2 x       →       v = - 2 n π c o s n π 2 x

E com isso;

b n = - x 2 + 1 2 n π c o s n π 2 x - 2 2 + ∫ - 2 2 4 x n π cos ⁡ n π 2 x d x

b n = - x 2 + 1 2 n π c o s n π 2 x - 2 2 + 0

b n = - 5 2 n π c o s n π + 5 2 n π c o s - n π

b n = - 5 2 n π c o s n π + 5 2 n π c o s n π

b n = 0

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

Encontramos que...

a n = 16 - 1 n n 2 π 2

b n = 0

E como isso, obtemos que...

f x = 1 2 ⋅ 14 3 + ∑ n = 1 ∞ 16 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ n π 2 x +  

Obtemos então, que a nossa resposta que é a letra (d)...

Resposta

d) 7 3 + ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 16 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2 x

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π