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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 69b

Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].

( b )   f ( x )   =   s e n 3   x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado determinarmos a forma complexa da série de Fourier da função definidas no intervalo [−π, π]

  f ( x )   =   s e n 3   x

Vamos utilizar a relação de Euler para escrever essa função como soma de exponenciais imaginárias!

Passo 2

Temos que a série de Fourier da forma complexa é dada por

f ( x ) = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   ω n x ,

sendo c n = 1 2 L ∫ - L L f ( x ) e - i ω n x d x e ω n = n π L .

Passo 3

Vamos escrever a função usando a relação de Euler:

s e n 3   x = ( e i x - e - i x 2 i ) 3 = e 3 i x - 3 e i x + 3 e - i x - e - 3 i x - 8 i

então calculando o coeficiente, com L = π e ω n = n :

c n = 1 2 π ∫ - π π ( e 3 i x - 3 e i x + 3 e - i x - e - 3 i x - 8 i ) e - i n x d x = 1 2 π ∫ - π π e i ( 3 - n ) x - 3 e i ( 1 - n ) x + 3 e - i ( 1 + n ) x - e - i ( 3 + n ) x - 8 i d x

lembrando da definição de delta de Dirac,

c n = 1 - 8 i [ δ ( 3 - n ) - 3   δ ( 1 - n ) + 3   δ ( 1 + n ) -   δ ( 3 + n ) ]

Então temos quatro valores de coeficientes possíveis:

c 3 = - 1 8 i

c 1 = 3 8 i

c - 1 = - 3 8 i

c - 3 = 1 8 i

Passo 4

Assim, substituindo na série

f ( x ) = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   ω n x = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i   n   x = e 3 i x - 3 e i x + 3 e - i x - e - 3 i x - 8 i

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = s e n 3 ( x ) = e 3 i x - 3 e i x + 3 e - i x - e - 3 i x - 8 i .

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π