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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 4

A série de Fourier da função f definida por:

f x = π ,           0 ≤ x < π   x ,               - π ≤ x < 0

Converge em x = π para:

Escolha uma opção:

a) π 2

b) π

c) 0

d) não converge

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f . Portanto, bora se ligar nas fórmulas abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 π (de – π até π ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:

2 L = 2 π     →       L = π

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 :

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Veja que de - π a π temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 π ∫ - π 0 x   d x + ∫ 0 π π d x

Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale x em - π ≤ x < 0 e - π em 0 < x ≤ π . Resolvendo essas integrais, temos que...

a 0 = 1 π x 2 2 - π 0 + π x 0 π

a 0 = 1 π - π 2 2 + π 2 = π 2

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x + ∫ 0 π π cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x + π ∫ 0 π cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x + π n sen ⁡ n x 0 π

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x + π n sen ⁡ n π - 0

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x + 0

a n = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ n x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo com que

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n s e n n x

Ficamos com...

a n = 1 π x n s e n n x - π 0 - ∫ - π 0 1 n s e n n x d x

a n = 1 π x n s e n n x - π 0 + 1 n 2 cos ⁡ ( n x ) - π 0

a n = 1 π 0 + 1 n 2 [ 1 - cos ⁡ ( - n π ) ]

a n = 1 π 1 n 2 [ 1 - cos ⁡ ( n π ) ]

a n = 1 - cos ⁡ n π π n 2

Agora vamos analisar com calma. Perceba que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

a n = 1 - cos ⁡ n π π n 2 = 2 π n 2       n   é   í m p a r 1 - cos ⁡ n π π n 2 = 0 π n 2             n   é   p a r        

E então;

a n = 1 - - 1 n π n 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ n x d x + ∫ 0 π π sen ⁡ n x d x

b n = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ n x d x - π n cos ⁡ ( n x ) 0 π

b n = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ n x d x - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

b n = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ n x d x - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →       v = - 1 n c o s n x

E com isso;

b n = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ n x d x - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

b n = 1 π - x n c o s n x - π 0 + ∫ - π 0 1 n cos ⁡ n x d x - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

b n = 1 π - x n c o s n x - π 0 + 1 n 2 s e n n x - π 0 - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

b n = 1 π π n c o s - n π - π n [ cos ⁡ n π - 1 ]

b n = 1 π - π n c o s n π - π n cos ⁡ n π + π n

b n = 1 π - 2 π c o s n π + π n

b n = 1 π - 2 π c o s n π + π n

Sendo que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

cos ⁡ n π = - 1 n

Logo, temos...

b n = - 2 - 1 n + 1 n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, com base na fórmula abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

Bom! Encontramos as seguintes expressões...

a 0 = π 2

a n = 1 - - 1 n π n 2

b n = - 2 - 1 n + 1 n

E com isso, obtemos que...

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ 1 - - 1 n π n 2 cos ⁡ n x + - 2 - 1 n + 1 n s e n n x  

Subsistindo x = π :

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ 1 - - 1 n π n 2 cos ⁡ n π + - 2 - 1 n + 1 n s e n n π

Como cos ⁡ n π = - 1 n e sen ⁡ n π = 0 :

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ 1 - - 1 n π n 2 - 1 n

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 π n 2

f x = π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 π n 2

f x = π 4 + - 2 π - 2 9 π - 2 25 π - 2 49 π - 2 81 π - ⋯

f x = π 4 - 2 π 1 + 1 9 + 2 25 + 1 49 + 1 81 + 1 121 ⋯

Temos ai, algo muito similar Isso é a mesma coisa que escrever que...

f x = π 4 - 2 π ∑ m = 1 ∞ 1 2 m - 1 2

E essa série ai, já sabemos o quanto ela vale aproximadamente segundo a nossa teoria!

∑ m = 1 ∞ 1 2 m - 1 2 ≈ π 2 8

Logo;

f x = π 4 - 2 π ∑ m = 1 ∞ 1 2 m - 1 2

f x = π 4 - 2 π ⋅ π 2 8

f x = π 4 - π 4 = 0

E a letra (c) é a alternativa correta!

Resposta

c) 0

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π