UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 26d
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
Passo 1
Fala aí pessoal, como vocês estão?
Nessa questão recebemos a função dada por:
E, precisamos determinar a série de Fourier apenas em senos de .
Pra escrever uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função seja ímpar e periódica. O problema é que a função dada não é nem ímpar nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser ímpar ela precisa obedecer:
E, isso não é obedecido para .
Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definiç��o de (observa que nesse problema ela foi definida apenas em ) de modo a torná-la ímpar e periódica.
Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!
Passo 2
Bom, pra começar, precisamos ampliar o domínio de de modo a torná-la ímpar. Queremos que a relação:
seja válida.
Então, no intervalo de queremos que:
Mas, o nosso parâmetro de é então onde tiver trocamos por e vice-versa:
Excelente! Assim, definimos como:
E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em se repete com período .
(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)
Massa!
Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo :
(consideramos sem perda de generalização).
Show de bola! Vamos pra série de Fourier efetivamente!!
Passo 3
Pra calcular os coeficientes da série de Fourier, precisamos calcular:
Abrindo um pouco essa expressão, temos:
Show de bola! Então precisamos resolver essas duas integrais!
Vamos começar por:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar. Como , temos que:
Ficamos só com o primeiro termo:
Daí, quando tivermos:
Podemos escrever:
Então, substituindo no termo dessa integral em , vem:
Perfeito!
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:
No caso da nossa integral, vamos chamar:
Assim:
O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:
Temos:
Como , temos que:
Assim:
Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:
Como:
Então,
- Se par:
- Se ímpar:
Perfeito!
Logo, para o coeficiente para o termo relacionado a essa integral em , vamos ter:
- par:
- ímpar:
Daí, juntando esses dois termos em , vamos ter:
- par:
- ímpar:
Logo, podemos escrever a série de Fourier de como:
(trocamos por pois estamos interessados apenas nos ímpares, beleza?)
Então é isso galerinha, matamos mais uma questão!
Obrigado pela atenção! Até a próxima 😊