UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 27d
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
Passo 1
Fala aí pessoal, como vocês estão?
Nessa questão recebemos a função dada por:
E, precisamos determinar a série de Fourier apenas em cossenos de .
Pra escrever uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função seja par e periódica. O problema é que a função dada não é nem par nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser par ela precisa obedecer:
E, isso não é obedecido para .
Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de (observa que nesse problema ela foi definida apenas em ) de modo a torná-la par e periódica.
Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!
Passo 2
Bom, pra começar, precisamos ampliar o domínio de de modo a torná-la ímpar. Queremos que a relação:
seja válida.
Então, no intervalo de queremos que:
Mas, o nosso parâmetro de é então onde tiver trocamos por e vice-versa:
Excelente! Assim, definimos como:
E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em se repete com período .
(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)
Massa!
Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo :
(consideramos sem perda de generalidade.)
Show de bola! Com isso matamos a primeira parte! Vamos pra próxima!!
Passo 3
Agora vamos calcular efetivamente a série de Fourier da nossa função . Para isso precisamos calcular os coeficientes :
Galera, em geral, aparece um problema quando colocamos , pois durante a integração acaba aparecendo um no denominador. Então, vamos começar calculando separadamente, e depois calculamos para um qualquer ().
Massa! Agora vamos para um qualquer. Precisamos resolver a integral:
Podemos abri-la em duas novas integrais, fazendo:
Beleza, vamos resolver cada uma dessas integrais!
Começando por:
Pra calcular essa integral, precisamos usar o método de integração por partes. Dando uma rápida revisada, ele diz que:
Assim, fazendo:
Temos:
Como , temos que:
Logo:
Muito bom! Tudo tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos resolver a outra integral:
Daí, fazendo:
Temos:
Como , temos:
Logo:
Precisamos resolver a integral:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar. Como , temos que:
Ficamos só com o primeiro termo:
Daí, quando tivermos:
Podemos escrever:
Logo:
Excelente!
Passo 5
Juntando os resultados das duas integrais, vamos ter:
Substituindo o que encontramos:
- Se é par:
- Se é ímpar:
Logo, podemos escrever como:
Daí, podemos escrever a série de Fourier de como:
Prontinho galera! É isso aí!
Deu um trabalhinho mas saiu 😊
Obrigado pela atenção de vocês!!