UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 26b
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
Passo 1
E aí gente, tudo bem com vocês?
Nessa questão recebemos a função:
E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em senos.
Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função esteja definida como uma função ímpar e periódica.
A função dada, quando definida nos reais, já é uma função ímpar. Então, precisamos apenas defini-la de modo que ela também seja periódica. Beleza?
Depois de escrevermos essa definição, podemos usar que a série de Fourier em senos de uma função ímpar e periódica vale:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!
Passo 2
Bom, pra começar, vamos definir de modo que ela seja periódica. A definição dada no enunciado, é válida para:
Mas, no contexto das séries de Fourier, o período da função é dado por . Então, vamos ampliar a definição de , de modo que ela permaneça sendo ímpar e também se torne periódica.
com periódica de período .
Uma observação rápida galera:
Quando definimos a função dessa forma, significa que estamos desenhando a curva no intervalo e para os outros pontos dos reais, apenas vamos “colando” a mesma curva. Isso basicamente é um modo de definir a facilitar o formalismo matemático.
Caso contrário, precisaríamos escrever algo do tipo:
E, assim por diante pra infinitos trechos... Agora sacaram porque apenas escrevemos a definição no intervalo e dizemos que ela é periódica de período ?
Perfeito! Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo :
(consideramos para fins do gráfico, sem perda de generalidade).
onde se anula para todo .
Perfeito! Temos ímpar e periódica.
Passo 3
Agora que já encontramos a definição de , podemos calcular os coeficientes :
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar. Como , temos que:
Ficamos só com o primeiro termo:
Daí, quando tivermos:
Podemos escrever:
Então, substituindo em , vem:
Excelente! Assim, podemos escrever a série de Fourier de , como:
onde:
E é isso galera! Vocês curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
onde: