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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 1b

Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo.

( b )   f ( x ) = e - a | x | c o s ( c x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esse enunciado é bastante direto, precisamos calcular a transformada de Fourier da função definida de maneira que

f ( x ) = e - a | x | c o s ( c x )

Mas como fazemos isso? Pela definição

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Não existem muitos truques aqui! Apenas pegar o papel e caneta e seguir em frente! Mas será interessante reescrever o nosso cosseno utilizando a sua forma exponencial! Bora lá!

Passo 2

Temos que a função cosseno é tal que

c o s ( c x ) = 1 2 [ e i c x + e - i c x ]

de forma que a nossa integral se torna

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - a | x | c o s ( c x ) e - i ω x d x = 1 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a | x | [ e i c x + e - i c x ] e - i ω x d x

usando a propriedade da exponencial podemos escrever isso como duas integrais da forma

F ( ω ) = 1 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a | x | + i c x - i ω x + 1 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a | x | - i c x - i ω x d x

Ainda está complicado com esse módulo ali no expoente! No entanto, funções modulares tem a seguinte propriedade

| x | = - x para x < 0 e | x | = x para x > 0

portanto, a nossa integral se torna

F ( ω ) = 1 2 ∫ - ∞ 0 e a x + i c x - i ω x d x + 1 2 ∫ 0 ∞ e - a x +   i c x - i ω x + 1 2 ∫ - ∞ 0 e a x - i c x - i ω x d x + 1 2 ∫ 0 ∞ e - a x -   i   c x   -   i ω x d x

evidenciando algumas coisinhas, temos que resolver as seguintes integrais

F ( ω ) = 1 2 ∫ - ∞ 0 e [ a + i ( c - ω ) ] x d x + 1 2 ∫ 0 ∞ e [ i ( c - ω ) - a ] x + 1 2 ∫ - ∞ 0 e [ a - i ( c + ω ) ] x d x + 1 2 ∫ 0 ∞ e - [ i ( c + ω ) + a ] x d x

Ótimo! A pior parte do trabalho já foi! Vamos integrar agora!

Passo 3

Como essas são integrais impróprias, vamos escrevê-la em termos do limite

F ( ω ) = 1 2 l i m b → ∞ [ ∫ - b 0 e [ a + i ( c - ω ) ] x d x + ∫ 0 b e - [ a - i ( c - ω ) ] x + ∫ - b 0 e [ a - i ( c + ω ) ] x d x + ∫ 0 b e - [ a + i ( c + ω ) ] x d x ]

Note que eu coloquei um sinal negativo em evidência em todas as exponenciais. Resolvendo agora as integrais, temos a seguinte identificação

∫ - b 0 e [ a + i ( c - ω ) ] x d x = e [ a + i ( c - ω ) ] x a + i ( c - ω ) | - b 0 = 1 a + i ( c - ω ) [ 1 - 1 e b [ a + i ( c - ω ) ] ]

analogamente, temos para as outras integrais que

∫ 0 b e - [ a - i ( c - ω ) ] x d x = - e - [ a - i ( c - ω ) ] x a - i ( c - ω ) | 0 b = - 1 i ( c - ω ) - a [ 1 e b [ a - i ( c - ω ) ] - 1 ]

∫ - b 0 e [ a - i ( c + ω ) ] x d x = e [ a - i ( c + ω ) ] x a - i ( c + ω ) | - b 0 = 1 a - i ( c + ω ) [ 1 - 1 e b [ a - i ( c + ω ) ] ]

∫ 0 b e - [ i ( c + ω ) + a ] x d x = e - [ i ( c + ω ) - a ] x a + i ( c + ω ) | 0 b = - 1 a + i ( c + ω ) [ 1 e b [ a + i ( c + ω ) ] - 1 ]

Vamos juntar todos estes resultados! Vem comigo!

Passo 4

A nossa transformada se torna

F ( ω ) = 1 2 l i m b → ∞ [ 1 a + i ( c - ω ) [ 1 - 1 e b [ a + i ( c - ω ) ] ] - 1 a - i ( c - ω ) [ 1 e b [ a - i ( c - ω ) ] - 1 ] + 1 a - i ( c + ω ) [ 1 - 1 e b [ a - i ( c + ω ) ] ] - 1 a + i ( c + ω ) [ 1 e b [ a + i ( c + ω ) ] - 1 ]

avaliando o limite em b → ∞ , temos que

F ( ω ) = 1 2 [ 1 a + i ( c - ω ) [ 1 ] - 1 a - i ( c - ω ) [ - 1 ] + 1 a - i ( c + ω ) [ 1 ] - 1 a + i ( c + ω ) [ - 1 ]

Fazendo o MMC dois a dois, temos que

F ( ω ) = 1 2 { a - i ( c - ω ) + a + i ( c - ω ) [ a + i ( c - ω ) ] [ a - i ( c - ω ) ] + a + i ( c + ω ) + a - i ( c + ω ) [ a - i ( c + ω ) ] [ a + i ( c + ω ) ] } = a { 1 a 2 + ( c - ω ) 2 + 1 a 2 + ( c + ω ) 2 }

Tirando um último MMC, temos que

F ( ω ) = a { a 2 + ( c + ω ) 2 + a 2 + ( c - ω ) 2 [ a 2 + ( c - ω ) 2 ] [ a 2 + ( c + ω ) 2 ] } = 2 a [ a 2 + c 2 + ω 2 ] [ a 2 + ( c - ω ) 2 ] [ a 2 + ( c + ω ) 2 ]

a questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = 2 a [ a 2 + c 2 + ω 2 ] [ a 2 + ( c - ω ) 2 ] [ a 2 + ( c + ω ) 2 ]

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