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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 1c

Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo.

( c )   f ( x ) = e - a x 2 s e n ( c x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esse enunciado é bastante direto, precisamos calcular a transformada de Fourier da função definida de maneira que

f ( x ) = e - a x 2 s e n ( c x )

Mas como fazemos isso? Pela definição

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Não existem muitos truques aqui! Apenas pegar o papel e caneta e seguir em frente! Mas será interessante reescrever o nosso seno utilizando a sua forma exponencial! Bora lá!

Passo 2

Temos que a função cosseno é tal que

s e n ( c x ) = 1 2 i [ e i c x - e - i c x ]

de forma que a nossa integral se torna

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - a x 2 s e n ( c x ) e - i ω x d x = 1 2 i ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 [ e i c x - e - i c x ] e - i ω x d x

usando a propriedade da exponencial podemos escrever isso como duas integrais da forma

F ( ω ) = 1 2 i ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 + i c x - i ω x d x - 1 2 i ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 - i c x - i ω x d x

como temos que estes expoentes são polinômios da forma

- a x 2 + i ( c - ω ) x e - a x 2 - i ( c + ω ) x

vamos tentar completar o quadrado para escrever essa expressão em um formato mais agradável!

Passo 3

O quadrado perfeito é escrito da seguinte maneira

( α ± β ) 2 = α 2 ± 2 α β + β 2

escrevendo a primeira expressão como - [ a x 2 - i ( c - ω ) x ] , podemos identificar que

2 α β = - i ( c - ω ) x

como temos que α = a x , então β = - i 2 a ( c - ω ) , então como temos que

β 2 = - 1 4 a ( c - ω ) 2

temos que somar e subtrair esse termo para obter

- [ a x 2 - i ( c - ω ) x - 1 4 a ( c - ω 2 ) ] - 1 4 a ( c - ω ) 2 = - [ a x - i 2 a ( c - ω ) ] 2 - 1 4 a ( c - ω ) 2

A nossa exponencial se torna então

e - a x 2 + i c x - i ω x = e - a [ x - i 2 a ( c - ω ) ] 2 - 1 4 a ( c - ω ) 2

Fazendo um processo análogo para a outra exponencial, temos que

e - a x 2 - i c x - i ω x = e - a [ x + i 2 a ( c + ω ) ] 2 - 1 4 a ( c + ω ) 2

Uff… Vamos tentar resolver a integral agora!

Passo 4

Usando os resultados do último passo, temos que

F ( ω ) = 1 2 i e - 1 4 a ( c - ω ) 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a [ x - i 2 a ( c - ω ) ] 2 d x - 1 2 i e - 1 4 a ( c + ω ) 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a [ x + i 2 a ( c + ω ) ] 2 d x

As integrais que restaram são gaussianas, e são tabeladas, obedecendo a seguinte relação

∫ - ∞ ∞ e - a ( x + b ) 2 d x = π a

note que o valor de b é indiferente (na verdade nós já o consideramos quando completamos o quadrado e tiramos aquela outra exponencial para fora da integral). Podemos então escrever que

∫ - ∞ + ∞ e - a [ x - i 2 a ( c - ω ) ] 2 = π a = ∫ - ∞ + ∞ e - a [ x + i 2 a ( c + ω ) ] 2

e, a nossa transformada de Fourier é simplesmente

F ( ω ) = 1 2 i π a e - 1 4 a ( c - ω ) 2 - 1 2 i π a e - 1 4 a ( c + ω ) 2

Evidenciando o termo em comum, obtemos finalmente

F ( ω ) = - i 2 π a [ e - 1 4 a ( c - ω ) 2 - e - 1 4 a ( c + ω ) 2 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = - i 2 π a [ e - 1 4 a ( c - ω ) 2 - e - 1 4 a ( c + ω ) 2 ]

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