UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 27g
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
Passo 1
Fala pessoal, tudo tranquilo por aí?
Nessa questão recebemos uma função definida por partes da seguinte forma:
A partir disso, precisamos determinar a série de Fourier de apenas em cossenos.
Pra escrevermos a série de Fourier de uma função apenas em cossenos, é necessário que a função seja par e periódica.
Porém, nossa só está definida no intervalo , e por isso não é nem par nem periódica.
Logo, a primeira coisa que vamos fazer é expandir a definição de de modo que ela se torne par e periódica.
Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro
Passo 2
Bom, pra começar, vamos expandir a definição de .
No intervalo , nossa é dada por:
E, a função cosseno é par. Logo, já podemos definir no intervalo , como:
Massa! Já no intervalo , temos que:
Logo, para a função ser par, podemos definir no intervalo , como:
Assim, temos:
E, para que seja periódica, podemos dizer que a partir dessa definição em , é periódica de período .
Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)
Massa!
Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo :
(Para fins gráficos, consideramos sem perda de generalidade).
Show de bola gente! Matamos a primeira parte 😊
Passo 3
Agora precisamos calcular efetivamente a série de Fourier de . Para fazer isso precisamos calcular os coeficientes :
Como é definida por partes, podemos separar essa integral nos respectivos intervalos de :
Quando , se fizermos a integral ele irá aparecer no denominador, o que nos dará um absurdo matemático. Por isso, vamos calcular ele separadamente.
Agora vamos calcular para qualquer .
Precisamos resolver a integral:
Para isso, podemos utilizar a seguinte fórmula da transformação de produto em soma:
Daí, vamos ter:
Então:
Então:
Assim, podemos reescrever a integral como:
Beleza! Precisamos resolver essas integrais!
Passo 4
Temos:
Resolvendo a integral:
Substituindo os intervalos de integração:
Daí, podemos usar que:
Analogamente:
Juntando esses resultados em , temos que:
Portanto, concluímos que:
Daí:
- Se é par:
- Se é ímpar:
Podemos então escrever a série de Fourier de :
(trocamos por pra pegar apenas os termos pares, já que os ímpares são nulos).
Ufaaaaa! Matamos essa questão gente!!!
E aí, vocês curtiram? Responde Aí!