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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 16b

Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [ - π , π ] .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

essa função é simplesmente 1 no intervalo [ - π , - π / 2 ] ∪ [ π / 2 , π ] , e 0 para [ - π / 2 , π / 2 ] . Portanto, essa é uma função de paridade par, de forma que o coeficiente do seno é nulo! E, precisamos calcular os outros coeficientes como

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 π ∫ - π - π / 2 d x + 1 π ∫ π / 2 π d x

Essa integral pode ser identificada diretamente como

a 0 = 1 π [ - π 2 - ( - π ) ] = 1 / 2

Vamos calcular agora os coeficientes dos cossenos!

Passo 3

Vamos calcular agora

a n = 1 π ∫ - π π f ( x ) c o s ( n x ) d x = 1 π ∫ - π - π / 2 c o s ( n x ) d x   + 1 π ∫ π / 2 π c o s ( n x ) d x

A integral é tal que

∫ - π - π / 2 c o s ( n x ) d x = 1 n s e n ( n x ) | - π - π / 2 = - 1 n s e n ( n π / 2 )

e, a outra integral é tal que

∫ π / 2 π c o s ( n x ) d x = 1 n s e n ( n x ) | π / 2 π = - 1 n s e n ( n π / 2 )

ou seja, temos que para n = 2 m , inteiros pares, os coeficientes são zero, e temos que

a 2 m - 1 = - 2 ( 2 m - 1 ) π s e n ( n π / 2 )

Vamos finalmente escrever a nossa série!

Passo 4

Temos que

f ( x ) ≈ 1 4 - 2 π ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) s e n [ ( 2 m - 1 ) π / 2 ]   c o s ( n π x L )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 4 - 2 π ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) s e n [ ( 2 m - 1 ) π / 2 ]   c o s ( n π x L )

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