UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, P1 - 2022.2, Questão 1c
Considere a função definida no intervalo .
Calcule os coeficientes da série de Fourier de em cossenos.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos a função
na alternativa , obtivemos a extensão par da função como
e
Para calcularmos a série de Fourier em cossenos, precisaremos da extensão par , e aplicar a seguinte definição
Belezinha! Eu vou apresentar as expressões para os coeficientes uma de cada vez! Bora lá!
Passo 2
A primeira coisa que podemos dizer é que como estamos lidando com a série em cossenos, os coeficientes no seno são iguais a ! Portanto, vamos apenas nos preocupar com e , temos que
como temos que é uma função par assim como , então o produto é par, de forma que podemos transformar a integral acima em
em particular, temos que
Vamos resolver as integrais! Bora lá!
Passo 3
Usando que , temos que para a seguinte integral
usando a identificação
Podemos escrever
Vamos partir agora para o cálculo dos outros coeficientes! Vem comigo!
Passo 4
Os coeficientes são resultados da integral
essa integração precisa ser realizada por partes já que temos um produto de polinômio com função trigonometria em seu integrando! Usando LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinômio, Trigonométrica, Exponencial) para determinar a escolha de na seguinte fórmula
temos que
e
e, portanto
e
Aplicando a fórmula da integral por partes, temos que
Como temos que , avaliar os limites no primeiro termo nos leva a , restando apenas a integral
que pode ser identificada diretamente como
Maravilha! Falta apenas mais um detalhe! E, essa questão já era! Bora que Bora!
Passo 5
Vamos substituir o resultado que obtivemos no passo anterior na fórmula para o , temos que
note que aqui temos duas possibilidades quando , um número par, temos que , e portanto, temos que
mas quando, temos que , um número ímpar, temos que , temos que
A série de Fourier é dada então por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!