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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 17a

Verdadeiro ou falso? Justifique.

a )   A série de Fourier da função 2 f ( x ) é obtida multiplicando cada termo na série de Fourier de f ( x ) por 2 .

Passo 1

Fala aí galera, tudo na paz?

Aqui precisamos analisar se a afirmação dada no enunciado é verdadeira ou falsa.

Foi dito que, a série de Fourier de uma função g ( x ) dada por:

g x = 2 f ( x )

é a mesma série de Fourier da função f ( x ) , mas multiplicando cada termo por 2 .

E aí, será que isso é verdade?

Bom, antes de responder essa pergunta, vamos dar uma revisada em quem é a série de Fourier de uma função f ( x ) :

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

onde T = 2 L é o período de f . E, sobre os coeficientes a n e b n valem que:

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,         n = 0,1 , 2,3 , …

b n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x s e n n π x L d x ,         n = 1,2 , 3 , …

Massa! Sabendo disso vamos buscar calcular a série de Fourier de g x = 2 f ( x ) em função da série de Fourier de f ( x ) .

Vem comigo 😊

Passo 2

Pra calcular a série de Fourier de g ( x ) , precisamos primeiro comparar os períodos.

Quando multiplicamos uma função periódica por uma constante, não testamos alterando o período dela, pois se:

f x = f x + 2 L

∴ c ⋅ f x = c ⋅ f ( x + 2 L )

do mesmo jeito. Ou seja, o período de g é o mesmo que o de f , que chamaremos de 2 L .

Logo, a série de Fourier de g ( x ) pode ser dada como:

g x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

O grande ponto é quem são esses coeficientes. Vamos calculá-los pelas expressões dadas no passo anterior, substituindo f ( x ) por 2 f x .  

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L 2 f x cos ⁡ n π x L d x

Colocando a constante pra fora da integral:

a n = 2 ⋅ 1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Esse termo dentro dos parênteses é justamente o coeficiente a n da série de Fourier de f ( x ) . Portanto:

a n , g = 2 a n , f

Vamos ver b n :

b n = 1 L ⋅ ∫ - L L 2 f x s e n n π x L d x  

Colocando a constante pra fora:

b n , g = 2 ⋅ 1 L ⋅ ∫ - L L f x s e n n π x L d x

= 2 ⋅ b n , f

Ou seja, os coeficientes b n de g também são duas vezes os de f . Substituindo na série de Fourier para g , vem:

g x   ~ a 0 , g 2 + ∑ n = 1 ∞ a n , g cos ⁡ n π x L + b n , g s e n n π x L

g x   ~ 2 ⋅ a 0 , f 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 a n , f cos ⁡ n π x L + 2 b n , f s e n n π x L

Colocando o 2 em evidência:

g x   ~   2 ⋅ a 0 , f 2 + ∑ n = 1 ∞ a n , f cos ⁡ n π x L + b n , f s e n n π x L

Ou seja, para escrever a série de Fourier de 2 f ( x ) basta multiplicar cada termo da série de Fourier de f por 2 .

Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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