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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Seja f : - π , π →   R função contínua, g x = f x + f ( - x ) 2 e h x = f x - f ( - x ) 2 . Se S F F = a F 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a F n cos ⁡ ( n x ) + b F n sen ⁡ ( n x ) é a série de Fourier de função qualquer F .

Podemos afirmar que:

(I) b g n é sempre zero, para todo n ∈ N

(II) b h n nunca é zero, para todo n ∈ N

Escolha uma opção:

a) As duas afirmações são verdadeiras

b) Somente a afirmação I é verdadeira

c) Somente a afirmação II é verdadeira

d) As duas afirmações são falsas

Passo 1

Se liga na fórmula abaixo pra achar o b n :

bora se ligar nas fórmulas abaixo...

b n = 1 L ∫ - L L F x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Usando integração por partes, pra resolver essa integral, temos que...

u = F ( x )   →       u ' = F ' ( x )

v ' = sen ⁡ n π x L       →       v = L n π c o s n π x L

b n = 1 L ∫ - L L F x sen ⁡ n π x L d x = F x L n π c o s n π x L - L L + ∫ - L L F ' ( x ) L n π sen ⁡ n π x L d x

Naturalmente aquela integral ali do lado esquerdo vai zerar... Então;

b n = 1 L ∫ - L L F x sen ⁡ n π x L d x = F x L n π c o s n π L x - L L

Passo 2

Acontece que se F x = g ( x ) dada por...

g x = f x + f ( - x ) 2

Então, ficamos com;

b n = f x + f ( - x ) 2 ⋅ L n π c o s n x - L L

b n = f L + f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π L L - f - L + f ( L ) 2 ⋅ L n π c o s - n π L L

b n = f L + f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π - f - L + f ( L ) 2 ⋅ L n π c o s - n π ⏟ = cos ⁡ ( n π )

b n = f L - f L + f - L - f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π

b n = 0

Ou seja, vai ser sempre zero! Por sua vez, quando F x = h ( x ) dada por...

h x = f x - f ( - x ) 2

Obtemos que...

b n = f x - f ( - x ) 2 ⋅ L n π c o s n x - L L

b n = f L - f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π L L - f - L - f L 2 ⋅ L n π c o s - n π L L

b n = f L - f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π - f - L - f ( L ) 2 ⋅ L n π c o s - n π ⏟ = cos ⁡ ( n π )

b n = f L + f L - f - L - f ( - L ) 2 ⋅ L n π c o s n π

b n = 2 f L - 2 f - L L n π c o s n π

Mas ai tem um porém! Se acontecer a seguinte coisa...

f L = f ( - L )

Então, b n vai valer zero! Pelo que não podemos afirmar com certeza que b n nunca dará zero!

Desse modo, a letra (b) é a única alternativa certa!

Resposta

b) Somente a afirmação I é verdadeira

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π