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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Questão 1: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = sin ⁡ π x 4

c) Calcule o valor da série

∑ m = 1 ∞ 1 4 m 2 - 1

Passo 1

Bem, no parte a desse exercício definimos a série de Fourier da extensão par dessa função:

f x = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π cos ⁡ m π x 2

Ou seja, para x entre 0 e 2 ...

sin ⁡ π x 4 = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π cos ⁡ m π x 2

Então veja que podemos encontrar o valor da série fazendo um trabalho algébrico nessa equação de cima, vamos nessa?

Passo 2

Se fizermos pegarmos alguns x de forma que cos ⁡ m π x 2 = 1 , facilita a nossa vida, neh?

Se x = 0 ...

cos ⁡ 0 = 1

Independente de m . Então...

sin ⁡ π x 4 = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π cos ⁡ m π x 2       →

sin ⁡ 0 = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π cos ⁡ 0     →

0 = 2 π + ∑ m = 1 ∞ 4 π - 4 m 2 π     →

Colocando o π em evidência...

∑ m = 1 ∞ 4 π 1 - 4 m 2 = - 2 π     →

Passando essa constante 4 / π para fora...

4 π ∑ m = 1 ∞ 1 1 - 4 m 2 = - 2 π     →

∑ m = 1 ∞ 1 1 - 4 m 2 = - 2 ⋅ π π ⋅ 4     →

∑ m = 1 ∞ 1 1 - 4 m 2 = - 1 2

Multiplicando por - 1 ...

- 1 ∑ m = 1 ∞ 1 1 - 4 m 2 = 1 2   →

∑ m = 1 ∞ 1 4 m 2 - 1 = 1 2

Resposta

1 2

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π