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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Dada a função:

f t =   1 ,     - 2 ≤ t ≤ 0 2 ,       0 < t ≤ 2

  1. Encontre a série de Fourier de f

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f , temos o seguinte:

f x =   a 0 2 +   ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n π x L ) +   b n sen ⁡ ( n π x L ) )

a n =   1 L   ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n =   1 L   ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o intervalo da função que o problema deu é de 4 (de -2 até 2) e temos que estender a função, esse será seu o período. Então:

2 L = 4 →     L = 2

Passo 2

Agora, vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n , temos:

a 0 =   ∫ - 2 2 f x d x

Veja que de -2 a 2 temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 =   1 2   ∫ - 2 2 f x d x =   1 2   ∫ - 2 0 1   d x + ∫ 0 2 2   d x = 3

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ´ s . Temos que:

a n =   1 2   ∫ - 2 2 f x cos ⁡   ( n π x 2 )   d x =   1 2   ∫ - 2 0 1 cos  ( ⁡ n π x 2 )   d x +   1 2     ∫ 0 2 2 cos ⁡   ( n π x 2 )   d x

=   1 n π   s e n   n π x 2 - 2 0 +   2 n π   s e n   n π x 2 0 2 = 0

para n ≥ 1 .

Passo 4

Agora, vamos calcular os b n ´ s :

b n =   1 2   ∫ - 2 2 f x s e n   ( n π x 2 )   d x =   1 2   ∫ - 2 0 1   s e n   ( n π x 2 )   d x +   1 2   ∫ 0 2 2   s e n   ( n π x 2 )   d x

=   1 n π [ cos ⁡ n π - 1   ] +   2 n π   [ 1 - cos ⁡ ( n π ) ]

=   1 n π   1 - cos ⁡ n π = 0 ,       n   p a r 2 n π ,       n   í m p a r

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x =   a 0 2 +   ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n π x L ) +   b n sen ⁡ ( n π x L ) )

a 0 = 3

a n = 0

b n =   2 n π   p a r a   n   í m p a r

Por tanto, a série de Fourier F f d e   f   é :

F f x =   3 2 +   2 π   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1   s e n   ( 2 k - 1 π x 2 )

Resposta

F f x =   3 2 +   2 π   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1   s e n   ( 2 k - 1 π x 2 )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π