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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 17b

Os coeficientes de Fourier de f x + g ( x ) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f ( x ) e de g ( x ) .

Passo 1

E aí gente bonita do Responde Aí! Como é que vocês estão?

Aqui precisamos analisar se a afirmação dada no enunciado é verdadeira ou falsa.

Foi dito que, a série de Fourier de:

f x + g ( x )

é calculada somando os coeficientes das séries de f ( x ) e de g x .

E aí, será que isso é verdade?

Bom, antes de responder essa pergunta, vamos dar uma revisada em quem é a série de Fourier de uma função f ( x ) :

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

onde T = 2 L é o período de f . E, sobre os coeficientes a n e b n valem que:

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,         n = 0,1 , 2,3 , …

b n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x s e n n π x L d x ,         n = 1,2 , 3 , …

Massa! Sabendo disso vamos buscar calcular a série de Fourier de f x + g ( x ) em função da série de Fourier de f ( x ) e de g ( x ) .

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, vamos escrever a série de Fourier de f x + g ( x ) :

f x + g x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

Ué, não mudou nada? Calma haha, o que realmente vai definir a série são os coeficientes a n e b n . Teremos que:

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x + g x ⋅ cos ⁡ n π x L d x  

=   1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x + 1 L ⋅ ∫ - L L g x cos ⁡ n π x L d x

= a n , f + a n , g

Onde a n , f e a n , g são os coeficientes da série de Fourier de f ( x ) e g ( x ) respectivamente.

Calculando b n , vamos ter:

b n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x + g x s e n n π x L d x  

= 1 L ⋅ ∫ - L L f x s e n n π x L d x + 1 L ⋅ ∫ - L L g ( x ) s e n n π x L d x  

= b n , f + b n , g

onde analogamente b n , f e b n , g são os coeficientes da série de Fourier de f e de g .

Daí, voltando para a série de Fourier de f x + g ( x ) , temos:

f x + g x   ~ a 0 , f + a 0 , g 2 + ∑ n = 1 ∞ a n , f + a n , g cos ⁡ n π x L + ( b n , f + b n , g ) s e n n π x L

Daí, separando vamos ter:

f x + g x   ~

a 0 , f 2 + ∑ n = 1 ∞ a n , f cos ⁡ n π x L + b n , f s e n n π x L + a 0 , g 2 + ∑ n = 1 ∞ a n , g cos ⁡ n π x L + b n , g s e n n π x L  

Ou seja, a série de Fourier de f x + g ( x ) é realmente a soma das séries de f ( x ) e g ( x ) termo a termo.

Portanto, a afirmação do enunciado é verdadeira.

Uhuul! Até a próxima galera 😊

Resposta

Verdadeira.

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