Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

Ver Teoria
Exercício 4712345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980

Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 1a

Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo.

( a )   f ( x ) = 1 - | x | / a se | x | < a e f ( x ) = 0 caso contrário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esse enunciado é bastante direto, precisamos calcular a transformada de Fourier da função definida de maneira que

f ( x ) = 1 - | x | / a se | x | < a e f ( x ) = 0 caso contrário.

Mas como fazemos isso? Pela definição

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Não existem muitos truques aqui! Apenas pegar o papel e caneta e seguir em frente! Mas, note que as propriedades desta função podem nos ajudar um pouquinho! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, a nossa função tem o formato 1 - | x | quando | x | < a , ou seja, no intervalo

- a < x < a

e, é zero em todo o resto do domínio, portanto, a transformada de Fourier se torna

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x = ∫ - a a [ 1 - | x | ] e - i ω x d x

Ainda complicado resolver com esse módulo não é? Mas lembre que a função módulo é definida de forma que

| x | = - x para x < 0 e | x | = x para x > 0

então, na verdade, a integral que precisamos resolver é a seguinte

F ( ω ) = ∫ - a a [ 1 - | x | ] e - i ω x d x = ∫ - a 0 [ 1 + x ] e - i ω x d x + ∫ 0 a [ 1 - x ] e - i ω x d x

Vamos resolver agora as integrais!

Passo 3

Temos quatro integrações para fazer, mas elas são bem similares umas às outras mudando os limites de integração, temos integrais da forma

∫ e - i ω x d x

e, integrais da forma

∫ x   e - i ω x d x

para a primeira podemos identificar a primitiva diretamente, a segunda é um produto de um polinômio com uma função exponencial, portanto, vamos precisar integrar por partes! Vamos resolver primeiro a mais simples e a outra no próximo passo! Podemos identificar que

∫ e - i ω x d x = 1 - i ω e - i ω x + C

agora, avaliando em ambos os limites de interesse, temos que

∫ - a 0 e - i ω x d x = 1 - i ω e - i ω x | - a 0 = 1 - i ω - ( e i a ω - i ω )

ou simplesmente

∫ - a 0 e - i ω x d x = 1 - i ω [ 1 - e i a ω ] = i ω [ 1 - e i a ω ]

da mesma forma, temos que

∫ 0 a e - i ω x d x = 1 - i ω [ e - i a ω - 1 ] = i ω [ e - i a ω - 1 ]

Vamos fazer agora as integrações por partes!

Passo 4

As integrais por partes são da forma

∫ x   e - i ω x d x

usando a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinômios, Trigonométricas, Exponencial). Podemos usar a seguinte identificação

u = x e d u = d x

e, também

d v = e - i ω x d x e v = 1 - i ω e - i ω x

aplicando então a formulinha

∫ u d v = u v - ∫ v d u

temos que

∫ x e - i ω x d x = 1 - i ω x e - i ω x - [ 1 - i ω ∫ e - i ω x d x ]

a integral que falta tem como resultado

∫ e - i ω x d x = 1 - i ω e - i ω x

e, portanto, a integral como um todo se torna

∫ x e - i ω x d x = 1 - i ω x e - i ω x + 1 ω 2 e - i ω x + C

Agora a constante de integração depende dos limites considerados! Vamos escrever cada uma delas individualmente!

Passo 5

Temos a integral

∫ - a 0 x e - i ω x d x = [ 1 - i ω x e - i ω x + 1 ω e - i ω x ] - a 0 = 1 - i ω ( 0 ) e 0 + 1 ω 2 e 0 - [ 1 - i ω ( - a ) e i ω a + 1 ω 2 e i ω a ]

simplificando, temos que

∫ - a 0 x e - i ω x d x = 1 ω 2 [ 1 - e i ω a ] + i a ω e i ω a

da mesma maneira, obtemos que

∫ 0 a x e - i ω x d x = [ 1 - i ω x e - i ω x + 1 ω 2 e - i ω x ] 0 a = [ 1 - i ω ( a ) e - i ω a + 1 ω 2 e - i ω a ] - [ 1 - i ω ( 0 ) e 0 + 1 ω 2 e 0 ]

ou simplesmente

∫ 0 a x e - i ω x d x = i   a ω e - i ω a + 1 ω 2 [ e - i ω a - 1 ]

Vamos juntar todos os resultados para obter a nossa transformada! Bora lá!

Passo 6

A transformada é tal que

F ( ω ) = ∫ - a 0 [ 1 + x ] e - i ω x d x + ∫ 0 a [ 1 - x ] e - i ω x d x

substituindo nossos resultados, temos que

F ( ω ) = i ω [ 1 - e i a ω ] + 1 ω 2 [ 1 - e i ω a ] + i a ω e i ω a + i ω [ e - i a ω - 1 ] - { i   a ω e - i ω a + 1 ω 2 [ e - i ω a - 1 ] }

juntando alguns termos e simplificando outros, temos que

F ( ω ) = 1 ω 2 [ 1 - e i ω a - e - i ω a + 1 ] + i ω [ 1 - e i a ω + e - i a ω - 1 ] + i a ω [ e i a ω - e - i a ω ]

usando a fórmula de Euler na forma

e i ω t = c o s ( a ω t ) + i   s e n ( a ω t )

e, também

e - i ω t = c o s ( a ω t ) - i   s e n ( a ω t )

Podemos escrever nosso resultado como

F ( ω ) = 2 ω 2 [ 1 - c o s ( a ω t ) ] + 2 ω s e n ( a ω t ) - 2 a ω s e n ( a ω t )

ou simplesmente

F ( ω ) = 2 ω 2 [ 1 - c o s ( a ω t ) ] + 2 ω s e n ( a ω t ) [ 1 - a ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = 2 ω 2 [ 1 - c o s ( a ω t ) ] + 2 ω s e n ( a ω t ) [ 1 - a ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π