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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 3

Determine a série de Fourier da função f definida por:

f x = 0             - π ≤ x < 0 x π - 1 2                       0 ≤ x < π

No intervalo [ - π , π ] :

Escolha uma opção:

a) ∑ m = 1 ∞ - 2 n m 2 π 2 sen ⁡ ( m x ) + ∑ m = 1 ∞ 1 m π cos ⁡ ( m x )

b) ∑ m = 1 ∞ ( - 2 ) ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) x ) - ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m ) π sen ⁡ ( ( 2 m ) x )

c) ∑ m = 1 ∞ ( - 2 ) ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) x ) + ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m ) π sen ⁡ ( ( 2 m ) x )

d) ∑ m = 1 ∞ - 2 n m 2 π 2 cos ⁡ ( m x ) - ∑ m = 1 ∞ 1 m π sen ⁡ ( m x )

e) ∑ m = 1 ∞ - 2 n m 2 π 2 cos ⁡ ( m x ) + ∑ m = 1 ∞ 1 m π sen ⁡ ( m x )

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f . Portanto, bora se ligar nas fórmulas abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 π (de – π até π ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:

2 L = 2 π     →       L = π

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 :

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Veja que de - π a π temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 π ∫ - π 0 0   d x + ∫ 0 π x π - 1 2 d x

Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - π < x < 0 e x 2 - 1 2 em 0 < x < π . Resolvendo essas integrais, temos que...

a 0 = 1 π x 2 2 π - x 2 0 π

a 0 = 1 π π 2 2 π - π 2 = 0

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = 1 π ∫ - π 0 0 cos ⁡ n x d x + ∫ 0 π x π - 1 2 cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ 0 π x π - 1 2 cos ⁡ n x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = x π - 1 2       →       u ' = 1 π

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n s e n n x

Logo, ficamos com...

a n = 1 π x π - 1 2 1 n s e n n x 0 π - ∫ 0 π 1 n π sen ⁡ n x d x

a n = 1 π x π - 1 2 1 n s e n n x 0 π - 1 n π ∫ 0 π sen ⁡ n x d x

a n = 1 π x π - 1 2 1 n s e n n x 0 π - 1 n π - 1 n cos ⁡ ( n x ) 0 π

a n = 1 π x π - 1 2 1 n s e n n x 0 π + 1 n 2 π cos ⁡ ( n x ) 0 π

a n = 1 π π π - 1 2 1 n s e n n π + 1 n 2 π [ cos ⁡ n π - 1 ]

a n = cos ⁡ n π - 1 n 2 π 2

Agora vamos analisar com calma. Perceba que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

a n = cos ⁡ m π - 1 n 2 π 2 = - 2 n 2 π 2       n   é   í m p a r cos ⁡ m π - 1 n 2 π 2 = 0 n 2 π 2             n   é   p a r        

E então;

a n = - 1 n - 1 n 2 π 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = 1 π ∫ - π 0 0 sen ⁡ n x d x + ∫ 0 π x π - 1 2 sen ⁡ n x d x

b n = 1 π ∫ 0 π x π - 1 2 sen ⁡ n x d x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x π - 1 2       →       u ' = 1 π

v ' = sen ⁡ n x       →       v = - 1 n c o s n x

E com isso;

b n = 1 π - x π - 1 2 1 n c o s n x 0 π + ∫ 0 π 1 n π cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - x π - 1 2 1 n c o s n x 0 π + 1 π n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = 1 π - x π - 1 2 1 n c o s n x 0 π + 1 π n 2 sen ⁡ n π - sen ⁡ 0

b n = 1 π - x π - 1 2 1 n c o s n x 0 π

b n = 1 π - π π - 1 2 1 n c o s n π + 0 π - 1 2 1 n c o s 0

b n = 1 π - 1 2 n c o s n π - 1 2 n c o s 0

b n = 1 π - 1 2 n c o s n π - 1 2 n c o s 0

b n = 1 2 π n - c o s n π - c o s 0

Sendo que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

cos ⁡ n π = - 1 n

Logo, temos...

b n = - - 1 n - 1 2 π n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

Encontramos que...

a n = - 1 n - 1 n 2 π 2

b n = - - 1 n - 1 2 π n

E como isso, obtemos que...

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 π 2 cos ⁡ n x + - - 1 n - 1 2 π n s e n n x  

Não tem nada no enunciado que se pareça com isso aí! Mas calma! Questão de teste sempre tem a pegadinha pra fazer o aluno perder ponto kkkkkkkkk!

Bora fazer uma mudança de variável! Chamando n de:

n = 2 m - 1

Temos que quando n = 1 ;

n = 1 = 2 m - 1

2 m = 2

m = 1

Logo, substituindo o novo valor de n na fórmula de f ( x ) que encontramos...

f x = ∑ m = 1 ∞ - 1 2 m - 1 - 1 ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( 2 m - 1 ) x + - - 1 2 m - 1 2 π ( 2 m ) s e n ( 2 m ) x

Pelo fato de ter a expressão 2 π n , a gente opta por deixar só ( 2 π 2 m ) . Não faz muito sentido deixar 2 π ( 2 m - 1 ) . Já que pra qualquer m teremos um valor par mesmo no denominador...

f x = ∑ m = 1 ∞ - 1 2 m - 1 1 - 1 ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( 2 m - 1 ) x + - 1 - 1 4 π m s e n ( 2 m ) x

f x = ∑ m = 1 ∞ - 2 ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( 2 m - 1 ) x - 1 2 π m s e n ( 2 m ) x

f x = ∑ m = 1 ∞ ( - 2 ) ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) x ) - ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m ) π sen ⁡ ( ( 2 m ) x )

E a letra (b) é a alternativa correta!

Resposta

b ) ∑ m = 1 ∞ ( - 2 ) ( 2 m - 1 ) 2 π 2 cos ⁡ ( ( 2 m - 1 ) x ) - ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m ) π sen ⁡ ( ( 2 m ) x )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π