UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 2a
Dado que mostre as seguintes propriedades da transformada.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado pede para demonstrarmos a seguinte propriedade das transformadas de Fourier
em que . Para fazermos isso vamos partir da definição de transformada de Fourier, dada por
Vamos precisar substituir por e ver se é possível manipular a integral de forma a obter a expressão que desejamos! Bora lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo
a variável é uma variável “muda”, ou seja, ela na verdade não faz diferença, podemos chamá-la do que bem entendemos. Mas isso ajuda no quê? Note que se eu fizer a mudança de variáveis
e
podemos escrever a nossa integral como
Usando a propriedade da exponencial, podemos separar a exponencial em duas, de forma que obtemos
como temos que o nome da variável integrada não importa, temos que o lado direito é simplesmente
Portanto, aí está! Demonstramos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!