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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Considere a função F ( x )   =   π 2   -   x 2 , onde x varia no intervalo [ - π   ,   π ] . Calcular a série de fourier associada a função F ( x ) . O símbolo π representa a constante matemática de valor 3,1415926535...

( )   2 π 2 3     +   ∑ n   =   1 ∞   - 4   *   - 1 n   n 2      

( ) 2 π 2 3   + ∑ n   =   1 ∞   2 *   - 1 n   n 2      

( ) 2 π 2 3   + ∑ n   =   1 ∞ - 2 *   - 1 n   n 2      

( )   3 π 2 2     +   ∑ n   =   1 ∞   - 4   *   - 1 n   n 2        

( )   3 π 2 2     +   ∑ n   =   1 ∞   - 2   *   - 1 n   n 2      

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a série de Fourier da função

F ( x )   =   π 2   -   x 2

Marailha! Vamos lembrar como é a carinha da série de Fourier:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ b n s e n ⁡ n π x L

Onde:

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f x c o s ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Bom, como o nosso intervalo vai de – π a π , então o nosso L = π .

Vamos começar então calculando o nosso a 0 :

a 0 = 1 π ∫ - π π π 2 - x 2 d x = 1 π π 2 x - x 3 3 - π π = 1 π π 3 - π 3 3 - π 2 - π + - π 3 3

a 0 = 1 π   2 π 3 - 2 π 3 3 = 4 π 2 3

Agora, vamos calcular o de a n :

a n = 1 π ∫ - π π π 2 - x 2 c o s ⁡ n π x π d x = 1 p i ( ∫ - π π π 2 c o s ⁡ n x d x - ∫ - π π x 2 c o s ⁡ n x d x

Nesse segundo termos, vamos precisar fazer a integração por parte duas vezes. Adiantando um pouco as contas, chegamos em:

a n = 1 π - π 2 n sen ⁡ n x -   n 2 x 2 - 2 sen ⁡ n x + 2 n x c o s n x n 3 - π π

a n = 1 π - π 2 n sen ⁡ n π -   n 2 π 2 - 2 sen ⁡ n π + 2 n π c o s n π n 3 + π 2 n sen ⁡ n ( - π ) -   n 2 ( - π ) 2 - 2 sen ⁡ n ( - π ) + 2 n ( - π ) c o s n ( - π ) n 3

a n = 1 π - 2 π cos ⁡ n π n 2 + 2 π cos ⁡ - n π n 2

A função cosseno é par, logo cos ⁡ n π = cos ⁡ - n π , então, podemos somar os dois termos:

a n = - 4 cos ⁡ n π n 2

Agora, vamos calcular o b n

b n = 1 π ∫ - π π ( π 2 - x 2 ) sen ⁡ n π x π d x = 1 π ( ∫ - π π π 2 sen ⁡ n x d x - ∫ - π π x 2 sen ⁡ n x d x

Novamente caímos numa integral por partes e o resultado fica:

b n = 1 π - π 2 n cos ⁡ n x - 2 n x sen ⁡ n x + 2 - n 2 x 2 c o s n x n 3 - π π

Substituindo os limites da integral, ficaremos com:

b n = 1 π - π 2 n cos ⁡ n π - 2 n π sen ⁡ n π + 2 - n 2 π 2 c o s n π n 3 + π 2 n cos ⁡ n - π + 2 n ( - π ) sen ⁡ n - π + 2 - n 2 - π 2 c o s n - π n 3

b n = 1 π - π 2 n cos ⁡ n π - 2 - n 2 π 2 c o s n π n 3 + π 2 n cos ⁡ n - π + 2 - n 2 π 2 c o s n π n 3 = 0

Éééé, tanta conta pra dar ZERO!! Tristeza isso! Haha

Beleza, agora vamos substituir o a 0 e o a n na nossa série de Fourier para, finalmente, encontra-la. (Lembrando que a gente também tem que substituir o b n , só que nesse caso é zero, então não precisamos nos preocupar com ele).

Passo 2

Agora que já fizemos esse monte de conta, vamso substituir os valores na série de Fourier:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ⁡ n x

Vai ficar:

f x = 4 π 2 3 1 2     + ∑ n = 1 ∞ - 4 cos ⁡ n π n 2 c o s ⁡ n x

cos ⁡ n π = 1 ,     s e   n   é   p a r - 1 ,     s e   n   é   í m p a r  

cos ⁡ n π = - 1 n

Então, ficaremos com:

f x = 2 π 2 3     + ∑ n = 1 ∞ - 4 - 1 n n 2 c o s ⁡ n x

Resposta

f x = 2 π 3     + ∑ n = 1 ∞ - 4 - 1 n n 2 c o s ⁡ n x

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π