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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Encontre a série de Fourier para a função f x = 1 se 0   ≤   x ≤ π       e f x = - 1 se π ≤ x ≤   2 π

Passo 1

Fala aí!! A questão quer a série de Fourier para a nossa função.

f x = 1 ,     s e   0 ≤ x ≤ π - 1 ,     s e   π ≤ x ≤ 2 π

Vamos lembrar da carinha da série de Fourier:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ b n s e n ⁡ n π x L

Como a nossa função vai de 0 a 2 π , então o nosso L = π . Para calcular o a 0 , temos que:

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a 0 = 1 π ∫ 0 π 1 d x + ∫ π 2 π ( - 1 ) d x

Calculando essa integral e aplicando os limites de integração, vamos chegar a:

a 0 = 1 π   x 0 π - x π 2 π = 1 π π - 0 - 2 π + π = 0

Beleza, já sabemos o nosso a 0 . Agora, vamos calcular a n . A formulinha do a n é:

a n = 1 L ∫ - L L f x c o s ⁡ n π x L d x

Vamos substituir com o que sabemos da nossa função e resolver a integral. Então a n vai ficar:

a n = 1 π ∫ 0 π 1 . c o s ⁡ n x d x + ∫ π 2 π ( - 1 ) . c o s ⁡ n x d x = 1 π 1 n sen ⁡ n x 0 π - 1 nπ sen ⁡ n x π 2 π = 1 π n sen ⁡ n π - sen ⁡ 0 - sen ⁡ 2 π n + sen ⁡ n π = 0

Beleza, agora já sabemos a n . Vamos calcular b n . A carinha do b n é essa aqui:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Aplicando os valores da nossa função, ela fica:

b n = 1 π ∫ 0 π 1 . sen ⁡ n x d x + ∫ π 2 π - 1 . sen ⁡ n x d x  

Bom, resolvendo a integral e aplicando os limites da integração, vamos achar o b n :

b n = 1 π 1 n - cos ⁡ n x 0 π + 1 π n cos ⁡ n x   π 2 π = 1 π n - c o s n π + cos ⁡ 0 + cos ⁡ 2 π n - c o s n π

b n = 1 π n 2 - 2 - 1 n = 2 π n ( 1 - - 1 n )  

Agora que já sabemos a 0 , a n e b n , podemos encontrar a nossa série de Fourier, substituindo esses termos. Logo, a série de Fourier será:

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 π n 1 - - 1 n   s e n ⁡ n x

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 π n 1 - - 1 n   s e n ⁡ n x

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