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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Dada a função:

f t =   1 ,     - 2 ≤ t ≤ 0 2 ,       0 < t ≤ 2

  1. Calcule a soma da série:

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Sugestão: integre a série de Fourier de f

F f x =   3 2 +   2 π   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1   s e n   ( 2 k - 1 π x 2

No intervalo de [0,2]

Passo 1

Observe que F f x = 2   s e   x   ϵ   0,2 .   Integrando o resultado obtido no item (a) no intervalo (0,2), tem-se:

∫ 0 2 2   d x =   ∫ 0 2 3 2   d x +   2 π   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1   ∫ 0 2 s e n   2 k - 1 π x 2 d x

1 =   4 π 2   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2   [ 1 - cos ⁡ ( 2 k - 1 π ) ] ,

1 =   4 π 2   ∑ k = 1 ∞ 2 2 k - 1 2  

π 2 8 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2    

Resposta

π 2 8 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2    

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π