Dado que g(ω) = F{f(x)} mostre as seguintes propriedades da transformada.

(b) ℱ{f(x)e^(-icx)}(ω) = g(ω + c)

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para demonstrarmos a seguinte propriedade das transformadas de Fourier

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = g ( ω + c )

em que g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } . Para fazermos isso vamos partir da definição de transformada de Fourier, dada por

ℱ { f ( x ) } = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Vamos precisar substituir f ( x ) por f ( x ) e - i c x e ver se é possível manipular a integral de forma a obter a expressão que desejamos! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i c x e - i ω x d x

vamos usar propriedades da exponencial para juntar as duas exponenciais em uma só, temos que

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ( c + ω ) x d x

se fizermos a mudança ω ' = ω + c , temos que

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω ' x d x

que é simplesmente a definição da transformada de Fourier com espaço de frequências dado por ω ' , ou seja

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = g ( ω ' ) = g ( ω + c )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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