UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 26f
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
Passo 1
Oláaa gente bonita do Responde Aí, tudo na paz com vocês?
Nessa questão recebemos a seguinte função definida por partes:
E, precisamos determinar a série de Fourier de apenas em senos.
Pra escrever uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função seja ímpar e periódica. O problema é que a função dada não é nem ímpar nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser ímpar ela precisa obedecer:
E, isso não é obedecido para .
Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de (observa que nesse problema ela foi definida apenas em ) de modo a torná-la ímpar e periódica.
Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!
Passo 2
Bom, pra começar precisamos definir de modo que ela seja ímpar e periódica. Então, vamos estender a definição de ao intervalo .
Para ser ímpar, precisamos que:
No intervalo , devemos ter:
Mas, o parâmetro da função está como . Pra deixar em função de , onde tiver trocamos por . Assim:
Massa! Agora no intervalo .
Precisamos ter:
Novamente trocando por , temos:
Ou seja, podemos definir de modo que ela seja ímpar, assim:
E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em se repete com período .
(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)
Massa!
Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo :
(consideramos sem perda de generalização).
Show de bola! Vamos pra série de Fourier efetivamente!!
Passo 3
Agora precisamos determinar os coeficientes da série de Fourier. Temos que:
Daí, como é definida por partes no intervalo , temos:
Massa! Então, vamos resolver cada uma dessas integrais, começando por:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar.
- Se é par:
- Se é impar:
Beleza! Então essa primeira integral morreu 😊
Passo 4
Queremos agora calcular:
Na primeira integral, vamos ter:
Já na segunda, podemos aproveitar um pouco do resultado do item anterior, mudando apenas os limites de integração:
Como , temos:
Substituindo o resultado das duas integrais, vamos ter:
Daí:
- Se é par:
- Se é ímpar:
Excelente! Juntando ambos os resultados em , temos:
- Se par:
- Se ímpar:
Todo mundo conseguindo acompanhar até aqui?
Passo 5
Pra finalizar, podemos escrever a série de Fourier.
Como separamos nos casos par e ímpar, vamos também separar o somatório. Mas aí, nos casos par, trocamos o por , e nos casos ímpar, trocamos por .
Vamos ter:
Pronto galera, é só esse monstrinho daí de cima!
E aí, o que acharam? Curtiram a solução?
Responde Aí!