UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 72
Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão
Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
O enunciado nos apresenta a definição de uma transformada de fourier como
e pede para encontrarmos a sua inversa através desta definição! Então, vamos procurar uma transformação que aplicada sobre e resulte em ! Saca só!
Passo 2
Vamos primeiro fazer a seguinte integração
nós podemos livremente mudar a ordem da integração para obter
em que podemos juntar as integrais como
A integral interna é a definição da delta de dirac dada por
Portanto, isso resulta em
Lembra como resolver esse lado direito? Vem comigo!
Passo 3
Tendo em vista as propriedades da delta de dirac, podemos escrever que
e, finalmente, temos que
como temos que é só uma variável muda, podemos escrever simplesmente
que é a nossa transformada inversa! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!