UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 27f
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo
com .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão recebemos a função:
E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em cossenos.
Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função esteja definida como uma função par e periódica.
Nesse caso temos uma função definida por partes, mas em cada uma dessas partes assume um valor constante. E, toda função constante é par, pois sempre vale que:
Assim, se tivesse definida nos reais ela já seria par, porém está apenas definida em . Dessa forma, precisamos ampliar o domínio de de modo que ela seja par e periódica, beleza?
Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:
onde:
Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro.
Passo 2
Bom, pra começar vamos ajustar a definição de para ela ser par e periódica.
Como vimos, se estendermos o intervalo de nossa função já é par. Pra ela ser periódica podemos dizer que a curva característica dessa função de a , se repete com período .
Ou seja:
com periódica de período .
Assim, como no contexto da série de Fourier, temos que:
Já que o período aqui vale , tem:
Portanto, temos que desenhar o gráfico dessa função de .
(para fins de gráfico consideramos ).
Show de bola! A primeira parte já foi 😊
Passo 3
Agora precisamos calcular efetivamente a nossa série de Fourier de . Para isso, vamos calcular os coeficientes :
Como é definida por partes, vamos separar essas integrais em cada intervalo de definição de em a .
Galera, em geral, aparece um problema quando colocamos , pois durante a integração acaba aparecendo um no denominador. Então, vamos começar calculando separadamente, e depois calculamos para um qualquer ().
Já para os outros ...
Resolvendo essa integral, vamos ter:
Logo:
(como pode ser qualquer número no intervalo não podemos afirmar nada sobre o seno de ).
Daí, podemos escrever a série de Fourier de como:
Prontinho!! Terminamos 😊
Obrigado pela atenção pessoal!!