Considere se e tal que .
(a) (2pts) Mostre que a série de Fourier de é dada por
(b) (2pts) Utilizando o item (a) prove que
Passo 1
Opa, vamos lá. Como que a gente encontra a série de Fourier para uma função? Oras, ela vai ter a seguinte carinha:
Onde:
Bom, como é a metade do período da função, temos que . Como , então nossa série vai ficar:
Como o tem valores iguais a para ímpar e valores iguais a para par, então multiplicando com o , podemos dizer que:
Observação: como é ímpar, se você lembrasse que o produto de funções de paridades iguais da uma função par e o produto de funções de paridades diferentes da uma função ímpar, poderia fazer direto que:
Isso facilita bastante a vida. Se não lembrar, é só fazer conta mesmo.
Beleza, agora que já descobrimos todos os termos da nossa série, basta substituir:
Se tirarmos as constantes do somatório, teremos:
Prontinho!! Deixamos no formato que a questão pediu.
Passo 2
A questão agora quer que a gente use a série de Fourier que a gente já encontrou pra provar que:
Para relembrar a série:
E a nossa função:
Beleza, vamos fazer o seguinte: vamos dizer que
Aí vamos ver que os senos vão ficar tranquilos de calcular, olha só:
Perfeito, agora vamos olhar pro somatório: quando é ímpar, o seno fica . Se é par, o seno dá . Então, vamos escrever da seguinte forma:
Se for ímpar, o seno dá 1; se for par, o seno dá . Com isso, podemos trocar a função do seno por .
Além disso, repare que .
Vamos ficar com:
Agora, a gente troca o por e chega na forma pedida:
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.