UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 3
Mostre que a transformada de Fourier de será uma função real se, e somente se, for uma função par.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado quer que demonstremos a seguinte propriedade
“Se uma função for par, sua transformada de Fourier será real. Se a função for ímpar, a transformada será imaginária.”
Para demonstrar isso vamos precisar da definição de transformada de Laplace como
lembrar que as relações de paridade são tais que
Função par:
Função ímpar:
e, por último, lembrar que uma função real pode ser identificada pela propriedade
ou seja, ela é igual a sua própria conjugada (quando trocamos o sinal da parte imaginária). Vamos partir daí e tentar demonstrar! Vem comigo!
Passo 2
Vamos primeiro calcular a conjugada da transformada de Fourier, ou seja, mudar o sinal da parte imaginária em nossa definição, temos que
aqui estou tomando que . Agora, se considerarmos que é par, temos que, mudar é indiferente para a função, mas ela influencia a transformada, note que
só que o lado direito desta expressão é a definição da própria transformada de Fourier, portanto, se uma função tem paridade “par”, a transformada é real
Mas, e para o que estamos interessados? E, se a função for ímpar? Saca só!
Passo 3
Escrevendo novamente a conjugada da transformada de Fourier, temos que
fazendo a mudança , temos que
ou seja, temos que a conjugada da transformada, se a função é ímpar, é identificada como o negativo da própria transformada, de maneira que
deve ser puramente imaginária! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!