UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15b
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
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Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função
para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier
e, substituí-los na expressão
Bora lá!
Passo 2
Temos a seguinte função
como ela não tem paridade definida, precisamos calcular todos os coeficientes, primeiro temos que
como é uma função ímpar, temos que a primeira integral se anula, restando apenas a integral
Vamos calcular agora o coeficiente do cosseno!
Passo 3
Temos que calcular
temos que é uma função ímpar e é uma função par, portanto, o produto de ambas é uma função ímpar, assim, a primeira integral se anula. A segunda é da forma
no entanto, , portanto, temos que
Por último, o coeficiente do seno! Vamos lá!
Passo 4
Temos que calcular
como temos que a função é ímpar a segunda integral se anula. No entanto, precisamos fazer a primeira por partes, usando a escolha
e
e, também
e
Temos que nossa integral se torna
A integral que falta pode ser identificada diretamente como
temos então como resultado final
Vamos avaliar os limites e reescrever a expressão!
Passo 5
Avaliando os limites de integração temos que
em que usei a paridade da função cosseno e seno para manter os argumentos iguais, simplificando, temos que
quando é ímpar, temos que e quando é par, temos que , então podemos reescrever a expressão acima como
de forma que a nossa série de Fourier é simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!