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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15f

Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( e )   f ( x ) = x 3 - L 2 x ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

  f ( x ) = x 3 - L 2 x ,   - L ≤ x ≤ L ;

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = x 3 - L 2 x

essa função é definida tal que tem paridade ímpar, portanto, o único coeficiente não-nulo é o coeficiente do seno, portanto, temos que calcular apenas

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L x 3 s e n ( n π x L ) d x - L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

precisamos integrar por partes, usando que

u = x 3 e d u = 3   x 2   d x

e

d v = s e n ( n π x L ) e v = - L n π c o s ( n π x L )

e, portanto, obtemos que

b n = 1 L ∫ - L L x 3 s e n ( n π x L ) d x = - 1 n π x 3   c o s ( n π x L ) | - L L + 3 n π ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x - L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

avaliando os limites no primeiro termo, temos que

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) + 3 n π ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x - L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

Precisamos integrar por partes novamente! Bora lá!

Passo 3

Temos que calcular

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) + 3 n π ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x - L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

precisamos realizar integrações por partes, temos que

u = x 2 e d u = 2 x d x

assim como

d v = c o s ( n π x L ) e v = L n π s e n ( n π x L )

a integral se torna

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) + 3 n π ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) + 3 L n 2 π 2 x 2 s e n ( n π x L ) | - L L - 6 L n 2 π 2 ∫ - L L x s e n ( n π x L ) d x - L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

como temos que s e n ( n π ) = 0 , temos que

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) - L ( 1 + 6 n 2 π 2 ) ∫ - L L x s e n ( n π x L ) d x

Ainda precisamos integrar por partes mais uma vez! Bora lá!

Passo 4

Fazendo a segunda integração por partes, da mesma maneira que a primeira, mas agora com

u = x e d u = d x

e

d v = s e n ( n π x L ) e v = L n π c o s ( n π x L )

temos que

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) - L ( 1 + 6 n 2 π 2 ) ∫ - L L x s e n ( n π x L ) d x = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) - L ( 1 + 6 n 2 π 2 ) [ L n π x   c o s ( n π x L ) | - L L - L n π ∫ - L L c o s ( n π x L ) ]

expandindo os índices no primeiro termo, temos que

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) - 2 L 2 n π ( 1 + 6 n 2 π 2 ) c o s ( n π ) - L 2 n π ( 1 + 6 n 2 π 2 ) ∫ - L L c o s ( n π x L )

A última integral é simplesmente dada por

∫ - L L c o s ( n π x L ) d x = L n π s e n ( n π x L ) | - L L = 0

obtemos então que

b n = - 2 L 2 n π c o s ( n π ) - 2 L 2 n π ( 1 + 6 n 2 π 2 ) c o s ( n π )

Vamos escrever nossa série de Fourier!

Passo 5

A nossa série de Fourier se torna

f ( x ) ≈ - 2 L 2 π ∑ n = 1 ∞ [ 2 n + 3 n 2 π ] c o s ( n π ) c o s ( n π x L )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ - 2 L 2 π ∑ n = 1 ∞ [ 2 n + 3 n 2 π ] c o s ( n π ) c o s ( n π x L )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π