UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 17c
Os coeficientes de Fourier de se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de e .
Passo 1
Faaaaala galerinha, tudo na paz por aí?
Aqui precisamos analisar se a afirmação dada no enunciado é verdadeira ou falsa.
Foi dito que, a série de Fourier de:
é calculada multiplicando os coeficientes das séries de e de
E aí, será que isso é verdade?
Bom, antes de responder essa pergunta, vamos dar uma revisada em quem é a série de Fourier de uma função :
onde é o período de . E, sobre os coeficientes e valem que:
Massa! Sabendo disso vamos buscar calcular a série de Fourier de em função da série de Fourier de e de .
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom pessoal, antes de sairmos fazendo várias contas vamos pensar um pouquinhoo...
Se essa afirmação for verdadeira, estamos dizendo que:
onde são os coeficientes da série de Fourier de e e são os das séries de e , respectivamente.
Mas, como é que calculamos pelo que vimos anteriormente?
Puts, mas pra então ser verdade que:
Precisaríamos que fosse verdade que:
Só que isso não é verdade de modo geral, pois a integral do produto de funções não é a o produto das integrais das funções.
Pra que fique bem evidente vamos dar um contra-exemplo!
Passo 3
Digamos que:
Então:
Beleza! Agora vamos calcular quanto seria o produto
Portanto, independente do resultado de o produto já seria nulo.
Mas,
Portanto, a afirmação é falsa.
Aeeee! Terminamos 😊
Até a próxima pessoal!!!
Resposta
Falsa.