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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - 2021.1, Questão 19d

Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.

(d)   f ( x )   = s e n ( x ) [ s e n ( x )   +   c o s ( x ) ] 2 ,   − π   ≤   x   ≤   π ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a série de Fourier da função:

f ( x )   =   s e n ( x ) [ s e n ( x )   +   c o s ( x ) ] 2   ,   − π   ≤   x   ≤   π ;

Vamos utilizar algumas relações já conhecidas, e então calcular os coeficientes desta série de Fourier. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as relações já conhecidas:

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   .   ; (1)

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   ; (2)

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ; (3)

e

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L   ; (4)

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   . (5)

Também vamos utilizar as identidades trigonométricas a seguir

c o s 2   ( α )   =   1   +   c o s ( 2 α ) 2 ;   (6)

s e n 2   ( α )   =   1   -   c o s ( 2 α ) 2 ;   (7)

s e n ( α )   c o s ( β )   =   s e n ( α   +   β )   +   s e n ( α   −   β )   2   ; (8)

s e n ( α )   s e n ( β )   =   c o s ( α   -   β )   -   c o s ( α   +   β )   2   ; (9)

c o s ( α )   c o s ( β )   =   c o s ( α   +   β )   +   c o s ( α   −   β )   2   . (10)

Passo 3

Temos que a série de Fourier de uma função é dada por:

f ( x )   =   a 0 2   + Σ N n = 1 [   a n   c o s (   n π L x )       +   b n   s e n (   n π L x ) ]

Sendo os coeficientes definidos da seguinte forma:

a n = 1 L ∫ - L L f ( x )   c o s (   n π L x )   d x   ,   n   = 0 ,   1 ,   2 ,   .   .   .  

b n = 1 L ∫ - L L f ( x )   s i n (   n π L x )   d x   ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .

Passo 4

Vamos manipular a função para ela ser soma de senos e cossenos, pois dessa forma no momento que calcularmos os coeficientes da série as integrais já conhecidas irão aparecer. Então, utilizando as identidades trigonométricas (6) a (10):

f ( x )   =   s e n ( x ) [ s e n ( x )   +   c o s ( x ) ] 2 = s i n ( x ) ( s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) + 2   s i n ( x ) c o s ( x ) )

f ( x ) = s i n ( x ) ( 1 +   s i n ( 2 x ) )

f ( x ) = s i n ( x ) +   s i n ( x ) s i n ( 2 x ) = s i n ( x ) +   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2

f ( x ) = s i n ( x ) +   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2

Passo 5

Agora podemos calcular a série da função   f ( x )   =   s e n ( x ) [ s e n ( x )   +   c o s ( x ) ] 2   ,   − π   ≤   x   ≤   π . Sendo L = π , vamos calcular os coeficientes:

a n = 1 L ∫ - L L f ( x )   c o s (   n π L x )   d x = 1 π ∫ - π π ( s i n ( x ) +   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2 )   c o s (   n π L x )   d x

Pelas relações de (1) a (5), a primeira integral é nula para qualquer valor de n , pois são produtos de senos e cossenos, já a segunda é diferente de zero para n = 1 , e a terceira para n = 3 . Então:

a 1 = 1 π ∫ - π π     c o s 2 ( x ) 2   d x = 1 2 π   ( π ) = 1 2 ;

a 3 = - 1 π ∫ - π π     c o s 2 ( 3 x ) 2   d x = - 1 2 π   ( π ) = - 1 2 ;

calculando b n :

b n = 1 L ∫ - L L f ( x )   s e n (   n π L x )   d x = 1 π ∫ - π π ( s i n ( x ) +   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2 )   s e n (   n π L x )   d x

Pelas relações de (1) a (5), a primeira integral é diferente de zero apenas para n = 1 , e a segunda e a terceira são nulas para qualquer valor de n , pois são produtos de senos e cossenos, então

b 1 = 1 π ∫ - π π s i n 2 ( x )   d x = 1 π   ( π ) = 1 .

Passo 6

Agora podemos escrever a série da função   f ( x )   =   s e n ( x )   −   c o s ( 15 x ) ,   − π   ≤   x   ≤   π :

f ( x )   =   a 0 2   + Σ N n = 1 [   a n   c o s (   n π L x )       +   b n   s e n (   n π L x ) ]

f ( x )   = [   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2 + s i n ( x ) ]

Note que a série é igual a função.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x )   = [   c o s ( x ) 2 - c o s ( 3 x ) 2 + s i n ( x ) ] .

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