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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15h

Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( h )   f ( x ) = e x ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

  f ( x ) = f ( x ) = x   c o s ( π x / L ) ,   - L ≤ x ≤ L ;

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = e x

essa função não tem paridade definida, portanto temos que calcular todos os coeficientes, temos que

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 L ∫ - L L e x d x

Essa integral pode ser identificada diretamente como

a 0 = 1 L [ e L - e - L ]

Vamos calcular agora os coeficientes dos cossenos!

Passo 3

Vamos calcular agora

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

aqui precisamos integrar por partes, usando que

u = c o s ( n π x L ) e d u = - n π L s e n ( n π x L ) d x

e

d v = e x d x e v = e x

portanto a integral se torna

1 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x = 1 L e x c o s ( n π x L ) | - L L + n π L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x

avaliando os limites e usando a paridade do cosseno, temos que

1 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x = 1 L c o s ( n π ) [ e L - e - L ] + n π L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x

Vamos integrar novamente por partes!

Passo 4

Temos que

∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x = e x s e n ( n π x L ) | - L L - n π L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

como temos que s e n ( n π ) = 0 , temos que

∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x = - n π L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

A nossa integral fica da forma

1 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x = 1 L c o s ( n π ) [ e L - e - L ] - n 2 π 2 L 2 ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

ou simplesmente

∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x = c o s ( n π ) [ e L - e - L ] - n 2 π 2 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

E portanto, a nossa integral é tal que

a n = 1 L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x = 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) 1 L c o s ( n π ) [ e L - e - L ]

Preciso calcular agora os coeficientes do seno!

Passo 5

Temos que resolver

b n = 1 L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x

a integração por partes é da forma

b n = 1 L e x s e n ( n π x L ) | - L L - n π L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

como temos que s e n ( n π ) = 0 , obtemos

1 L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x = - n π L ∫ - L L e x c o s ( n π x L ) d x

integrando por partes novamente, temos que

1 L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x = - n π L e x c o s ( n �� x L ) | - L L + n 2 π 2 L 2 ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x

Avaliando os limites e isolando os termos, temos que

b n = 1 L ∫ - L L e x s e n ( n π x L ) d x = 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) n π L [ e - L - e L ] c o s ( n π )

Vamos finalmente escrever a nossa série!

Passo 6

Temos que

f ( x ) ≈ 1 2 L [ e L - e - L ] + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) 1 L c o s ( n π ) [ e L - e - L ]   c o s ( n π x L ) + 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) n π L c o s ( n π ) [ e - L - e L ] s e n ( n π x L )

ou simplificando

f ( x ) ≈ 1 2 L [ e L - e - L ] + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) [ e L - e - L ] c o s ( n π ) 1 L [   n π c o s ( n π x L ) - s e n ( n π x L ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 2 L [ e L - e - L ] + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 1 - n 2 π 2 L ) [ e L - e - L ] c o s ( n π ) 1 L [   n π c o s ( n π x L ) - s e n ( n π x L ) ]

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π