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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 73c

Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nesta questão temos que calcular a transformada de Fourier de uma função da forma

para isso devemos usar uma tabela de transformadas conhecidas! O enunciado indica uma tabela oficial nas notas de aula, mesmo sem ter acesso a esta tabela, existem resultados conhecidos que irei utilizar, belezinha? Nesta questão devemos partir do resultado

F ( ω ) = ∫ 0 ∞ e - a x   e - i ω x d x = 1 2 π 1 a + i ω ,   a > 0         ( 1 )

e, também que

F ( ω ) = ∫ - ∞ 0 e a x   e - i ω x d x = 1 2 π 1 a - i ω ,   a > 0         ( 2 )

Vamos tentar usar esses resultados! Saca só!

Passo 2

A nossa função precisa ser reescrita um pouco antes de podermos aplicar os resultados apresentados! Note que

Então, se aplicarmos a definição de transformada de Fourier obteremos

F ( ω ) = ∫ 0 ∞ e - 2 x e - i ω x d x + ∫ - ∞ 0 e 3 x e - i ω x d x

então usando a equação ( 1 ) com a = 2 e a equação ( 2 ) com a = 3 , temos que

F ( ω ) = 1 2 π 1 2 + i ω + 1 2 π 1 3 - i ω

que pode ser simplificada para obter

F ( ω ) = 1 2 π [ 3 - i ω + 2 + i ω ( 2 + i ω ) ( 3 - i ω ) ] = 1 2 π 5 ( 2 + i ω ) ( 3 - i ω )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = 1 2 π 5 ( 2 + i ω ) ( 3 - i ω )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π