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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15d

Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( d )   f ( x ) = x 2 ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

  f ( x ) = x 2 ,   - L ≤ x ≤ L ;

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = x 2

essa função é definida tal que tem paridade par, portanto, o coeficiente do seno se anula, precisamos apenas calcular os outros dois! Temos para o primeiro termo

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 L ∫ - L L x 2 d x

usando que

∫ - L L x 2 d x = 1 3 x 3 | - L L = 1 3 [ L 3 - ( - L ) 3 ]

temos

a 0 = 2 L 2 3

Vamos calcular agora o coeficiente do cosseno!

Passo 3

Temos que calcular

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x

precisamos realizar integrações por partes, temos que

u = x 2 e d u = 2 x d x

assim como

d v = c o s ( n π x L ) e v = L n π s e n ( n π x L )

a integral se torna

∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x = L n π x 2   s e n ( n π x L ) | - L L - 2 L n π ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

como temos que s e n ( n π ) = 0 , temos que isso se resume à

∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x = - 2 L n π ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x

essa integral também precisa ser calculada por partes! Vamos fazer isso!

Passo 4

Fazendo a segunda integração por partes, da mesma maneira que a primeira, mas agora com

u = x e d u = d x

e

d v = s e n ( n π x L ) e v = L n π c o s ( n π x L )

temos que

∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x = L n π x   c o s ( n π x L ) | - L L - L n π ∫ - L L c o s ( n π x L ) d x

A segunda integral pode ser identificada como

∫ c o s ( n π x L ) d x = L n π s e n ( n π x L )

obtemos então que

∫ - L L x s e n ( n π x L ) d x = L n π x   c o s ( n π x L ) | - L L - L 2 n 2 π 2 s e n ( n π x L ) | - L L

temos que o segundo termo se anula, e portanto, nos resta apenas

∫ - L L x s e n ( n π x L ) d x = L n π x   c o s ( n π x L ) | - L L = 2 L 2 n π c o s ( n π )

Substituindo no resultado original, temos que

a n = 1 L ∫ - L L x 2 c o s ( n π x L ) d x = - 4 L 2 n 2 π 2 c o s ( n π )

Vamos escrever nossa série de Fourier!

Passo 5

Note que, para n = 2 m - 1 , ou seja, ímpar, temos que c o s [ ( 2 m - 1 ) π ] = - 1 e para n = 2 m , ou seja, par, temos que c o s ( 2 m π ) = 1 . Desta forma, temos que

a 2 m - 1 = 4 L 2 n 2 π 2 ( - 1 ) n + 1

e, a nossa série de Fourier se torna

f ( x ) ≈ L 2 3 - 4 L 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n 2 c o s ( n π x L )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ L 2 3 - 4 L 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n 2 c o s ( n π x L )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π