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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 10

Calcule a série de Fourier em [ - 1,1 ] da função f x = x 2 + x :

Escolha uma opção:

a) 1 3 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 cos ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n sen ⁡ ( n π x )

b) 3 4 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 cos ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n sen ⁡ ( n π x )

c) 3 4 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 sen ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n cos ⁡ ( n π x )

d) 3 4 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 8 π 2 n 2 sen ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 12 π n cos ⁡ ( n π x )

e) 1 3 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 sen ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n cos ⁡ ( n π x )

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f . Portanto, bora se ligar nas fórmulas abaixo...

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 (de – 1 até 1 ), esse será o seu período. Então:

2 L = 2     →       L = 1

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 :

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 1 ∫ - 1 1 f x d x

a 0 = ∫ - 1 1 ( x 2 + x )   d x = x 3 3 + x 2 2 - 1 1 = 1 3 + 1 2 - - 1 3 + - 1 2 2 = 2 3

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ - 1 1 f x cos ⁡ ( n π x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ - 1 1 f x cos ⁡ ( n π x ) d x

a n = ∫ - 1 1 ( x 2 + x ) cos ⁡ ( n π x ) d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = x 2 + x →       u ' = 2 x + 1

v ' = cos ⁡ n π x       →       v = 1 n π s e n n π x

Logo, ficamos com...

a n = x 2 + x 1 n π s e n n π x - 1 1 - ∫ - 1 1 2 x + 1 n π sen ⁡ n π x d x

a n = x 2 + x 1 n π s e n n π x - 1 1 - 1 n π ∫ - 1 1 ( 2 x + 1 ) sen ⁡ n π x d x

a n = x 2 + x 1 n π s e n n π x - 1 1 + 2 sen ⁡ n π x - 2 π n x + π n cos ⁡ ( n π x ) π n 2 - 1 1

a n = 4 π n cos ⁡ π n π 3 n 3

a n = 4 cos ⁡ π n π 2 n 2

Agora vamos analisar com calma. Perceba que:

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo;

a n = 4 cos ⁡ π n π 2 n 2 = - 4 π 2 n 2       n   é   í m p a r 4 cos ⁡ π n π 2 n 2 = 4 π 2 n 2             n   é   p a r        

E então;

a n = 4 - 1 n n 2 π 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = ∫ - 1 1 f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = ∫ - 1 1 x 2 + x sen ⁡ n π x d x

b n = ∫ - 1 1 x 2 + x sen ⁡ n π x d x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x 2 + x →       u ' = 2 x + 1

v ' = sen ⁡ n π x       →       v = - 1 n π c o s n π x

E com isso;

b n = - x 2 + x 1 n π c o s n π x - 1 1 + ∫ - 1 1 2 x + 1 n π cos ⁡ n π x d x

b n = - x 2 + x 1 n π c o s n π x - 1 1 + 0

b n = - 2 n π c o s n π - 0

b n = - 2 cos ⁡ n π n π

Sendo que;

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

cos ⁡ n π = - 1 n

Logo, temos...

b n = - 2 - 1 n n π = 2 ( - 1 ) - 1 n n π

b n = - 2 - 1 n n π = 2 - 1 n + 1 n π

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

Encontramos que...

a n = 4 - 1 n n 2 π 2

b n = 2 - 1 n + 1 n π

E como isso, obtemos que...

f x = 1 2 ⋅ 2 3 + ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ n π x + 2 - 1 n + 1 n π s e n n π x  

f x = 1 3 + ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ n π x + 2 - 1 n + 1 n π s e n n π x

Fazendo i = n , obtemos a nossa resposta que é a letra (a)...

f x = 1 3 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 cos ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n sen ⁡ ( n π x )

Resposta

a) f x = 1 3 + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n 4 π 2 n 2 cos ⁡ ( n π x ) + ∑ i = 1 + ∞ - 1 n + 1 2 π n sen ⁡ ( n π x )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π