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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 73a

Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

( a )   e - ( x + 4 ) 2

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nesta questão temos que calcular a transformada de Fourier de uma função da forma

e - ( x + 4 ) 2

para isso devemos usar uma tabela de transformadas conhecidas! O enunciado indica uma tabela oficial nas notas de aula, mesmo sem ter acesso a esta tabela, existem resultados conhecidos que irei utilizar, belezinha? Nesta questão devemos partir do resultado

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - a 2 x 2 e - i ω x d x = 1 a e - ω 2 2 a ,   a > 0         ( 1 )

Vamos tentar usar esse resultado! Saca só!

Passo 2

Se aplicarmos a definição de uma transformada de Fourier com a nossa função, temos que

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - ( x + 4 ) 2 e - i ω x d x

vamos fazer uma mudança de variáveis da forma

x ' = x + 4 e d x ' = d x

temos que

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - x ' 2 e - i ω ( x ' - 4 ) d x ' = e 4 i ω ∫ - ∞ ∞ e - i x ' 2 e - i ω x ' d x '

Note que agora podemos comparar com a equação ( 1 ) , a integral é a mesma com a = 2 , portanto, temos que a nossa transformada é dada por

F ( ω ) = e 4 i ω ∫ - ∞ ∞ e - i x ' 2 e - i ω x ' d x ' = 1 2 e - ω 2 4 e 4 i ω

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = 1 2 e - ω 2 4 e 4 i ω

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