UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 15c
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
estendida de forma -periódica;
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função
estendida de forma -periódica;
para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier
e, substituí-los na expressão
Bora lá!
Passo 2
Temos a seguinte função
essa função é definida tal que tem paridade par, portanto, o coeficiente do seno se anula, precisamos apenas calcular os outros dois! Temos para o primeiro termo
Lembrando que a função módulo é definida tal que
se e se
podemos escrever que
usando que
temos
Vamos calcular agora o coeficiente do cosseno!
Passo 3
Temos que calcular
usando novamente a definição de módulo, temos que
para ambos os casos precisamos realizar integrações por partes, temos que
e
assim como
e
a integral se torna
A segunda integral pode ser identificada como
obtemos então que
Vamos avaliar os limites específicos para cada uma de nossas integrais!
Passo 4
Temos que calcular
Portanto, avaliando os limites, temos que
em que usei a paridade da função cosseno. Simplificando, temos que
Da mesma forma, temos que
Portanto, temos que
Vamos escrever a nossa série agora!
Passo 5
Note que, para , ou seja, ímpar, temos que e para , ou seja, par, temos que . Desta forma, temos que
e, a nossa s��rie de Fourier se torna
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!