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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Encontre a série de Fourier para a função f (   x ) = 2 , 0 ≤ x ≤ π e f ( x ) =   - x se π < x ≤ 2 π

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão ta pedindo pra gente encontrar a série de Fourier da função:

f x = 2 ,     0 ≤ x ≤ π - x ,     π < x ≤ 2 π

Vamos lembrar da carinha da série de Fourier:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ⁡ n π x L + ∑ n = 1 ∞ b n s e n ⁡ n π x L

Onde:

a 0 = 1 L ∫ 0 2 π f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ 0 2 π f x c o s ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ 0 2 π f x s e n ⁡ n π x L d x

Nesse caso, o intervalo é de 0 a 2 π , então L = π .

Vamos calcular o a 0

a 0 = 1 π ∫ 0 π 2 d x - ∫ π 2 π x d x

a 0 = 1 π 2 x 0 π - x 2 2 π 2 π = 1 π 2 π - 4 π 2 2 + π 2 2 = 2 - 3 π 2

Agora, vamos calcular o a n :

a n = 1 π ∫ 0 π 2 c o s ⁡ n π x π d x + ∫ π 2 π - x c o s ⁡ n π x π d x

Vamos calcular a integral do primeiro termo:

∫ 0 π 2 c o s ⁡ n x d x = - 2 n sen ⁡ n x 0 π = - 2 n sen ⁡ n π - sen ⁡ 0 = 0

Vamos calcular a integral do segundo. Nesse caso, teremos que fazer a integração por partes.

∫ π 2 π - x c o s ⁡ n x d x = - x n sen ⁡ n x + 1 n 2 cos ⁡ n x π 2 π = - 2 π n sen ⁡ 2 π n + 1 n 2 cos ⁡ 2 π n - π n sen ⁡ π n - 1 n 2 cos ⁡ π n

∫ π 2 π - x c o s ⁡ n x d x = 1 n 2 cos ⁡ π n - cos ⁡ 2 π n

∫ π 2 π - x c o s ⁡ n x d x = - 1 n + 1 2 n 2  

a n = - 1 n + 1 2 π n 2

Agora, que já sabemos a n , vamos calcular b n :

b n = 1 π ∫ 0 π 2 s e n ⁡ n π x π d x + ∫ π 2 π - x s e n ⁡ n π x π d x

Fazendo a integral do primeiro termo, temos:

∫ 0 π 2 s e n ⁡ n x d x = - 2 n cos ⁡ n x 0 π = - 2 n cos ⁡ n π + 2 n cos ⁡ 0 = - 2 n cos ⁡ n π + 1 = - 1 n + 1 2 n  

Agora, vamos calcular a integral do segundo termo fazendo a integração por partes:

∫ π 2 π - x s e n ⁡ n x d x = x n cos ⁡ n x - sen ⁡ n x n 2 π 2 π = 2 π n cos ⁡ 2 π n - sen ⁡ 2 π n n 2 - π n cos ⁡ n π + sen ⁡ π n n 2

∫ π 2 π - x s e n ⁡ n x d x = π n 2 cos ⁡ 2 π n - cos ⁡ n π = π 2 + - 1 n + 1 n

b n = 1 π - 1 n + 1 2 n + π 2 + - 1 n + 1 n = 1 π - 1 n + 1 2 + π n + 2 π n  

Passo 2

Agora que já descobrimos a 0 ,   a n   e   b n , podemos substituir na fórmula da série de Fourier:

f ( x ) = 2 - 3 π 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 π n 2 c o s ⁡ n π x π + ∑ n = 1 ∞ 1 π - 1 n + 1 2 + π n + 2 π n s e n ⁡ n π x π

Simplificando um pouquinho:

f ( x ) = 4 - 3 π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 π n 2 c o s ⁡ n x + ∑ n = 1 ∞ 1 π - 1 n + 1 2 + π n + 2 π n s e n ⁡ n x

Resposta

f ( x ) = 4 - 3 π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 π n 2 c o s ⁡ n x + ∑ n = 1 ∞ 1 π - 1 n + 1 2 + π n + 2 π n s e n ⁡ n x

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