Séries de Fourier, Funções Pares e ímpares e desigualdade de bessel e identidade de Parseval
Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coeficientes que minimizam a expressão:
Passo 1
b) Então, pensa comigo: pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado. Esse aqui:
Repara que o período da integral é de a .
Isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função, na verdade, porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.
A gente pode pensar no seguinte: usamos Série de Fourier para aproximar funções, certo?
E se fizermos essa função que está subtraindo de tender ao máximo, opa, então esse cara todo vai tender a ser cada vez menor! Estamos minimizando!
Então vamos calcular os coeficientes da Série de Fourier da extensão de e eles serão !
O primeiro detalhe é: qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.
Mas cuidado, estamos fazendo isso porque o termo que tá dentro da integral está com cara da Série de Fourier. Mas perceba que os termos do somatório são em .
Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer desse jeito, show?
Passo 2
A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função. Vamos chamar essa extensão ímpar.
Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de vamos ter:
E:
A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de a . Então o nosso período vai ser , isso nos diz que:
E:
Então:
Os nossos coeficientes em vão ser: