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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P4 - Questão 1

Determine a série de Fourier da função f x = x 2 no intervalo - π ≤ x ≤ π

Escolha uma opção:

a) π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 sen ⁡ ( n x )

b) π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 ∞ 1 2 n sen ⁡ ( n x )

c) π 2 4 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ ( n x )

d) π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ ( n x )

e) π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ ( n x )

Passo 1

Quando precisamos encontrar a Série de Fourier de f , temos que se ligar no seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 π (de – π até π ). Então:

2 L = 2 π     →       L = π

Passo 2

Agora vamos calcular a 0 !

Fazendo n = 0 na expressão de a n , temos:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

a 0 = 1 π ∫ - π π x 2 d x

Resolvendo essa integral, chegamos ao valor de a 0 :

a 0 = 1 π ⋅ x 3 3 - π π

a 0 = 1 π π 3 3 - - π 3 3 = 2 π 2 3

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ' s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n π x π d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ - π π x 2 cos ⁡ n x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo u = x 2 :

u = x 2       →       u ' = 2 x

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n s e n n x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - ∫ - π π 2 x n sen ⁡ n x d x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - 2 n ∫ - π π x sen ⁡ n x d x

Agora temos que integrar por partes de novo, Vamos lá...

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →       v = - 1 n c o s n x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - 2 n ∫ - π π x sen ⁡ n x d x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - 2 n - x n c o s n x - π π + 1 n ∫ - π π cos ⁡ n x d x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - 2 n - x n c o s n x - π π + 1 n ∫ - π π cos ⁡ n x d x

a n = 1 π x 2 n s e n n x - π π - 2 n - x n c o s n x - π π + 1 n 2 s e n n x - π π  

a n = 1 π 4 π cos ⁡ ( n x ) n 2

a n = 4 n 2 c o s ( n π )

Agora vamos analisar com calma. Perceba que...

cos ⁡ n π = - 1 ,     s e       n   é   í m p a r 1 ,     s e       n   é   p a r

Ou seja...

a n = - 4 n 2 ⇒ c o m   n   í m p a r

a n = 4 n 2 ⇒ c o m   n   p a r

Logo...

a n = 4 - 1 n n 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ' s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x

b n = 1 π ∫ - π π x 2 sen ⁡ ( n x ) d x

Vamos fazer a integração por partes:

u = x 2       →       u ' = 2 x

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ n x

Com isso, temos que...

b n = 1 π - x 2 n cos ⁡ n x - π π + ∫ - π π 2 x n cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - x 2 n cos ⁡ n x - π π + 2 n ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

Agora temos que integrar por partes de novo...

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n s e n n x

Desse modo;

b n = 1 π - x 2 n cos ⁡ n x - π π + 2 n ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - x 2 n cos ⁡ n x - π π + 2 n x n s e n n x - π π - ∫ - π π 1 n s e n n x

b n = 1 π - x 2 n cos ⁡ n x - π π + 2 n x n s e n n x - π π + 1 n 2 c o s n x - π π

b n = 1 π 0 = 0

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

A gente tem que...

a 0 = 2 π 2 3

a n = 4 - 1 n n 2

b n = 0

E assim, ficamos com

f x = π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n n 2 cos ⁡ n π x  

f x = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ ( n x )

E a letra (e) é a alternativa correta!

Resposta

e) f x = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ ( n x )

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π