(Cap 27 – Ex 66) A Fig. 27-67 mostra dois circuitos com um capacitor carregado que pode ser descarregado através de um resistor quando uma chave é fechada. Na Fig. 27-67a, R 1 = 20,0 Ω e C 1 = 5,00 μ F . Na Fig. 27-67b, R 2 = 10,0 Ω e C 2 = 8,00 μ F . A razão entre as cargas iniciais dos dois capacitares é q 02 / q 01 = 1,50 . No instante t = 0 , as duas chaves são fechadas. Em que instante t os dois capacitores possuem a mesma carga?

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Como já estamos acostumados, o enunciado sempre nos sugere qual caminho devemos seguir para o desenvolvimento do exercício. Você reparou algo que nos indica por onde começar?

Isso mesmo! q 02 / q 01 = 1,50 nos direciona para começar todo o desenvolvimento com as equações de carga.

Então, vamos escrever a equação para a carga dos dois capacitores:

q 1 = q 01 e - t τ 1

q 2 = q 02 e - t τ 2

Agora, quando os dois capacitores possuem a mesma carga, temos:

q 1 = q 2

q 01 e - t τ 1 = q 02 e - t τ 2

Precisamos manipular matematicamente, deixando as cargas isoladas:

e - t τ 1 + t τ 2 = q 02 q 01

Aplicamos l n como uma função inversa de e :

- t τ 1 + t τ 2 = l n q 02 q 01

t 1 τ 2 - 1 τ 1 = l n q 02 q 01

t τ 1 - τ 2 τ 1 τ 2 = l n q 02 q 01

Continuando a manipulação:

t = l n q 02 q 01 τ 1 τ 2 τ 1 - τ 2

t = l n q 02 q 01 τ 1 τ 2 τ 1 - τ 2

Passo 2

Com certeza você está pensando: legal, chegamos na razão dada pelo enunciado, mas como calculamos os τ ?

Podemos calcular a constante do tempo utilizando essa relação que ela em consideração a Resistência e a Capacitância:

τ = R C

Agora sim, né? Todas as variáveis dadas pelo enunciado serão utilizadas.

Portanto:

t = l n q 02 q 01 R 1 C 1 R 2 C 2 R 1 C 1 - R 2 C 2

t = l n 1,50 20,0 5,00 × 10 - 6 10,0 8,00 × 10 - 6 20,0 5,00 × 10 - 6 - 10,0 8,00 × 10 - 6 = 1,62 × 10 - 4 s

Isso é a Física! Doce como o mel...

Para essa questão é isso pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

t = 1,62 × 10 - 4 s

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