No circuito da figura, as chaves e estão inicialmente abertas e não há corrente no circuito. Dados: , , , , , . .

a) Calcule a resistência equivalente e a capacitância equivalente do circuito.

b) Se somente a chave é fechada, calcule a corrente em cada resistor. Desconsidere a resistência interna da fonte.

A partir daqui, considere apenas o circuito equivalente. Suponha que o capacitor equivalente está inicialmente descarregado e apenas a chave é fechada, criando um circuito .

c) Deduza a expressão da carga (medida em ) em função do tempo (medido em ).

d) Qual será a carga máxima armazenada no capacitor equivalente.

Agora vamos fazer a mesma coisa para a capacitância equivalente:

Os capacitores e estão em série. A capacitância equivalente de dois capacitores em série segue essa fórmula aqui:

Resolvendo essa soma:

Invertendo os dois lados:

E então:

Agora temos dois capacitores em paralelo. Nesse caso é só somar as capacitâncias para encontrar a capacitância equivalente:

Substituindo os valores numéricos:

(b) Quando somente a chave é fechada, o circuito envolve só a fonte e os resistores:

O nosso objetivo aqui é calcular a corrente em cada um dos resistores.

Então o primeiro passo é saber qual é a corrente total que transita pelo circuito. Pra isso a gente pode aproveitar a resistência equivalente que calculamos lá em cima.

Pela lei de Ohm:

Como os resistores e estão em série, a corrente que passa por eles é a mesma:

Ou seja, nós só temos duas variáveis aqui: e , então precisamos de duas equações. A primeira equação nós já temos, porque se a corrente total no circuito é , então:

Já a segunda equação a gente pode encontrar usando a lei das malhas:

Percorrendo a malha nesse sentido, a contribuição de cada resistor para a integral vai ser sua resistência multiplicada pela corrente que passa por ele, então:

E a corrente aparece com um sinal negativo porque está no sentido contrário ao que escolhemos para percorrer a malha.

Ok, ficamos com um sistema de duas equações:

Vamos resolver esse sistema. Primeiro reorganizamos um pouco:

Substituindo os valores numéricos:

Dividindo a segunda equação por :

E substituindo a segunda na primeira:

E substituindo isso na segunda equação:

Beleza, então as correntes que passam por cada resistor são:

(c) A partir de agora, o enunciado pediu para pensarmos somente no circuito equivalente, e com apenas a chave fechada, ou seja:

Ok, o enunciado quer que a gente deduza a expressão para a carga no capacitor em função do tempo.

Bom, o primeiro passo pra encontrar essa fórmula no circuito é usando a lei das malhas.

A contribuição da fonte para a integral é , a do capacitor é e a do resistor é , então:

Mas a corrente é simplesmente a derivada da carga em relação ao tempo. Então:

Agora é só resolver essa equação diferencial para encontrar a carga em função do tempo.

O primeiro passo é resolver a equação diferencial homogênea, ou seja, ignorando os termos constantes:

Reorganizando um pouco:

Agora é só integrar dos dois lados:

A integral da esquerda vai dar no , e a da direita vai dar simplesmente (não esqueça de acrescentar a constante):

Aplicando a exponencial dos dois lados:

E a gente pode transformar aquele em uma constante nova:

Beleza, essa é a solução da equação homogênea. Agora temos que encontrar a solução particular da equação inomogênea:

Vamos chutar uma solução constante, do tipo , nesse caso:

Então:

Ok, agora a solução geral é simplesmente a soma dessas duas soluções:

E falta determinar a constante usando uma condição inicial. No nosso caso, como o capacitor começa descarregado, temos , então:

E como :

Então:

Pronto! Deduzimos a fórmula que o enunciado pediu.

Por último, a gente quer saber qual será a carga máxima no capacitor equivalente.

Pra descobrir isso, é só ver o que acontece com a nossa função depois de um tempo muito longo, ou seja:

Quando tende a um valor muito grande, a exponencial vai tender a um valor muito pequeno, então:

Substituindo os valores numéricos:

Resolvido!