Considere o problema de se encontrar dois números cuja soma seja igual a a, cuja diferença seja igual a b e tais que o triplo do primeiro mais o quíntuplo do segundo seja igual a c.

(a) Quando este problema tem solução, ela é única.

(b) Este problema nunca tem solução.

(c) Este problema sempre tem solução.

(d) Quando este problema tem solução, ela não é única.

Agora notem o seguinte: temos duas incógnitas (que são o x e o y), enquanto temos três equações.

Um sistema com mais equações que incógnitas não necessariamente tem solução, certo? Isso porque podemos encontrar um valor para uma das incógnitas em uma das equações, e depois encontrar outro valor diferente para a mesma incógnita através das equações que restaram. Neste caso, uma das equações é inconsistente com as demais.

Porém, se não estivermos em uma situação com inconsistência nas equações, o sistema pode ter solução, sim! Neste caso, podemos afirmar que a solução é única.

Tá, mas como eu faço pra ver se as equações são consistentes ou não??

Uma forma bem rápida de ver isso é montando a matriz dos coeficientes do sistema e escalonando.

Passo : e

Passo :

Como conseguimos zerar a terceira linha, temos que na verdade ela é uma combinação da primeira com a segunda – isto é, não nos acrescenta nenhuma informação nova, mas também não contradizemos o que já tinha sido feito antes nas duas primeiras linhas.

Portanto, se nos forem dados a, b e c tais que a primeira e a segunda equação possam ser resolvidas, teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, que terá solução.

Mas isso nem sempre vai ser verdade, né? Depende dos valores de a, b e c. Por isso, a resposta é a letra (a): não necessariamente o sistema tem solução, mas quando tem, ela é única.