Seja e . Considere as seguintes afirmações sobre o sistema linear e sobre o sistema linear homogêneo associado :

1. Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções

2. Se tem uma única solução, então só tem a solução trivial

3. Quando , é possível que só tenha a solução trivial e não tenha solução

a) Apenas 1 é verdadeira

b) Apenas 2 e 3 são verdadeiras

c) Apenas 3 é verdadeira

d) 1, 2 e 3 são falsas

e) 1, 2 e 3 são falsas

f) Apenas 1 e 2 são verdadeiras

g) Apenas 1 e 3 são verdadeiras

h) Apenas 2 é verdadeira

A primeira afirmação diz que “Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções”

Mas galera, isso é falso e vamos provar com um contraexemplo. Olha esse sistema:

Temos um sistema do tipo , e ele tem infinitas soluções. Quaisquer valores onde cumpre com as duas equações

Mas por outro lado, se mudarmos o lado direito do sistema:

Agora temos um sistema do tipo , e é um sistema impossível, sem nenhuma solução

Logo, essa afirmação 1 é falsa

A segunda afirmação diz que “Se tem uma única solução, então só tem a solução trivial”

Se tem apenas uma única solução, quer dizer que encontramos apenas 1 valor para , 1 para , 1 para ...

Isso faz com que o sistema fique sem variáveis livres, e consequentemente não conseguimos encontrar soluções diferentes no sistema

Logo, realmente ele só vai ter a solução trivial:

Então essa afirmação é verdadeira 😉

Por fim, a terceira afirmação fala que “Quando , é possível que só tenha a solução trivial e não tenha solução”

Basicamente, ele está dizendo que se for uma matriz quadrada, é possível que só tenha a solução trivial e não tenha solução

Se só tem a solução trivial, então . Se , então tem apenas uma solução

Logo, a afirmação é falsa

Como apenas a afirmação 2 está correta, a alternativa certa é a H 😉