Seja A ∈ M m × n R e B ∈ M m × 1 R . Considere as seguintes afirmações sobre o sistema linear A X = B e sobre o sistema linear homogêneo associado A X = 0 :

1. Se A X = 0 tem infinitas soluções, então A X = B tem infinitas soluções

2. Se A X = B tem uma única solução, então A X = 0 só tem a solução trivial

3. Quando m = n , é possível que A X = 0 só tenha a solução trivial e A X = B não tenha solução

a) Apenas 1 é verdadeira

b) Apenas 2 e 3 são verdadeiras

c) Apenas 3 é verdadeira

d) 1, 2 e 3 são falsas

e) 1, 2 e 3 são falsas

f) Apenas 1 e 2 são verdadeiras

g) Apenas 1 e 3 são verdadeiras

h) Apenas 2 é verdadeira

Passo 1

Olááá pessoal, vamos pra mais uma de álgebrazinha!

Nesse exercício, vamos analisar alternativa por alternativa ok?

Mas basicamente, estamos falando de sistemas lineares e vamos analisar diferentes situações de acordo com a existência de soluções desses sistemas, bora lá??

Passo 2

A primeira afirmação diz que “Se A X = 0 tem infinitas soluções, então A X = B tem infinitas soluções”

Mas galera, isso é falso e vamos provar com um contraexemplo. Olha esse sistema:

x + y = 0 2 x + 2 y = 0

Temos um sistema do tipo A X = 0 , e ele tem infinitas soluções. Quaisquer valores onde x = - y cumpre com as duas equações

Mas por outro lado, se mudarmos o lado direito do sistema:

x + y = 0 2 x + 2 y = 1

Agora temos um sistema do tipo A X = B , e é um sistema impossível, sem nenhuma solução

Logo, essa afirmação 1 é falsa

Passo 3

A segunda afirmação diz que “Se A X = B tem uma única solução, então A X = 0 só tem a solução trivial”

Se A X = B tem apenas uma única solução, quer dizer que encontramos apenas 1 valor para x , 1 para y , 1 para z ...

Isso faz com que o sistema fique sem variáveis livres, e consequentemente não conseguimos encontrar soluções diferentes no sistema A X = 0

Logo, realmente ele só vai ter a solução trivial: x = y = z = … = 0

Então essa afirmação é verdadeira 😉

Passo 4

Por fim, a terceira afirmação fala que “Quando m = n , é possível que A X = 0 só tenha a solução trivial e A X = B não tenha solução”

Basicamente, ele está dizendo que se A for uma matriz quadrada, é possível que A X = 0 só tenha a solução trivial e A X = B não tenha solução

Se A X = 0 só tem a solução trivial, então det ⁡ A ≠ 0 . Se det ⁡ A ≠ 0 , então A X = B tem apenas uma solução

Logo, a afirmação é falsa

Como apenas a afirmação 2 está correta, a alternativa certa é a H 😉

Resposta

h) Apenas 2 é verdadeira

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