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Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q5

Fixe a , b   ∈ R e considere o sistema linear

y + z = b x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2 b x + y + z = 2

É correta afirmar que

a   s e   o   s i s t e m a   é   p o s s í v e l   e   d e t e r m i n a d o ,   e n t ã o   b = 2

b   o   s i s t e m a   n ã o   t e m   s o l u ç ã o ,   p a r a   q u a i s q u e r   a , b

c   s e   b = 2 ,   e n t ã o   o   s i s t e m a   é   p o s s í v e l

d   a ≠ 2 ,   e n t ã o   o   s i s t e m a   t e m   u m a   ú n i c a   s o l u ç ã o

e   s e   o   s i s t e m a   é   p o s s í v e l   e   i n d e r t e r m i n a d o ,   e n t ã o   b = 1

Passo 1

Falaaaaaa, tranquilo??? Para essa questão vamos fazer de uma forma mais rápida, indo pelas alternativas.

Pela primeira alternativa (a):

Vamos jogar b = 1 e ver o que ocorre (se conseguirmos achar uma solução para b = 1 ,   então a letra A tá errada)

y + z = 1 x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2 x + y + z = 2

Ou seja, podemos usar apenas:

y + z = 1 x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2

Usando a primeira equação na última, tiramos:

x + 1 = 2 → x = 1

Jogando x = 1 na segunda:

y + z = 1 1 + a y + 2 z = 3

z = 1 - y ,   c o l o c a n d o   n a   s e g u n d a :

a y + 2 1 - y = 2 → a y + 2 - 2 y = 2 ∴ a y - 2 y = 0

y a - 2 = 0

Nossa ideia é achar uma solução de fato, então vamos tomar a ≠ 2 , tendo, portanto, y = 0

Agora, temos que z = 1

Ou seja, temos que ( 1,0 , 1 ) é solução, com b = 1 , logo a letra A tá errada.

E isso acima já nos diz que a letra B tá errada, pois achamos uma solução.

Passo 2

Agora bora para a letra c:

Jogaremos b = 2 e analisaremos:

y + z = 2 x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2 2 x + y + z = 2

Colocando a primeira na última:

2 x + 2 = 2 → x = 0

Voltando pro sistema com essa informação:

y + z = 2 a y + 2 z = 3 y + z = 2 y + z = 2

Ou seja:

y + z = 2 a y + 2 z = 3

a y + 2 2 - y = 3

a y + 4 - 2 y = 3

a y - 2 y = - 1

y = - 1 a - 2 = 1 2 - a

Logo, temos que:

z = 2 - y = 2 - 1 2 - a = 4 - 2 a - 1 2 - a = 3 - 2 a 2 - a

Aqui, temos um detalhe, essa solução é válida para a ≠ 2 , se a = 2 não teríamos solução, logo b = 2 possui uma única solução, se a ≠ 2 . Logo a letra C está incompleta (errada)

Passo 3

Agora vamos ver a letra E, pois é mais fácil analisar, uma vez que ele nos da um valor para “testar”.

Jogaremos b = 1 e veremos o que ocorre:

y + z = 1 x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2 x + y + z = 2

Ou seja

y + z = 1 x + a y + 2 z = 3 x + y + z = 2

Da primeira e última, temos x = 1 , colocando na segunda:

y + z = 1 a y + 2 z = 2

a y + 2 1 - y = 2 → a y + 2 - 2 y = 2 ∴ a y - 2 y = 0

Bom, nesse caso, se a = 2 temos que a solução será ( 1 , y , 1 - y ) o que de fato faria a letra E ser verdade, mas veja que podemos jogar a = 1 ,   p o r   e x e m p l o , nesse caso teríamos que y = 0     e   p o r   i s s o   z = 1 . Logo:

( 1,0 , 1 ) é a única solução para b = 1 e a = 1 , portanto, a letra E tá errada, sobrando assim a letra D

Ficamos por aqui, bora para a próxima questãozinha

Resposta

Letra D

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Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
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