UFES, Álgebra Linear, P1 Tarde, 2017.2 - Questão 1b
Considere o sistema de equações lineares
Onde é um número real
b) Com base na matriz obtida no item (a), determine para quais valores de o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução, e para quais valores admite infinitas soluções.
Passo 1
Faaaaala pessoal, tudo certo? Vamos lá pra esse próximo item
Antes de tudo, vamos lembrar a matriz aumentada que obtivemos no item a, foi essa aqui:
Belezinha, agora queremos saber para quais valores de o sistema do enunciado
- Não tem solução
- Tem uma solução
- Tem infinitas soluções
Caaalma que é mais simples do que parece. Quando temos uma matriz escalonada e queremos analisar a existência de soluções, vamos fazer o seguinte:
- Para não ter solução: a equação da última linha tem que ser impossível. Resumindo: o tem que zerar e o tem que ser diferente de 0
- Para ter infinitas soluções: precisamos ter menos equações do que incógnitas
- Para ter uma solução: nenhuma das duas situações anteriores será cumprida
Repara que nem vamos precisar analisar o da primeira linha hehehe
Então vamosss analisar esses valores de
Passo 2
Primeiramente, para que o sistema não tenha solução, vamos verificar quando
E:
Então temos
Então
Beleza, esses são os valores que zeram o coeficiente de . Mas ao mesmo tempo, precisamos que
Logo, o sistema não possui solução para
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções, a terceira equação da matriz escalonada tem que zerar completamente, porque assim teremos 3 incógnitas para duas equações
Então precisamos que:
Como vimos no passo anterior, quando ou
Enquanto para
Então, as duas expressões zeram quando
Portanto, o sistema possui infinitas soluções quando
Passo 4
Por fim, o sistema vai ter apenas uma solução quando nenhuma das situações dos passos anteriores acontecer, ou seja, quando
Sucesso!!
Resposta
Uma solução:
Infinitas soluções:
Nenhuma solução: